ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров из "Математические методы классической механики " Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых интегрируемых задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих интегрируемых случаев можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение. [c.365] Небесно-механическая теория возмущений призвана учитывать это взаимодействие. [c.366] При этом ясно, что расчет на времена порядка 1000 лет не должен вызывать принципиальных трудностей. Однако если мы захотим исследовать большие промежутки времени, а особенно если мы заинтересуемся качественными вопросами о поведении точных решений уравнений движения на бесконечном интервале времени, то такие трудности возникают. [c.366] Дело в том, что накопление возмущений в течение большого по сравнению с 1000 лет промежутка времени может привести к полному изменению характера движения например, планеты могут падать на Солнце, уходить от него и сталкиваться друг с другом. [c.366] Заметим, что к задаче о движении реальных планет вопрос о поведении решений уравнений движения на бесконечных промежутках времени имеет лишь косвенное отношение. Дело в том, что на интервалах времени порядка миллиардов лет сильно сказываются малые неконсервативные эффекты, неучтенные в уравнениях Ньютона. Таким образом, эффекты гравитационного взаимодействия планет реально существенны лишь в том случае, если они серьезно изменяют картину движения за конечное время, малое но сравнению с временем проявления неконсервативных эффектов. [c.366] При расчете движения на такое конечное время существенную пользу дают вычислительные машины, быстро определяющие движение планет на много тысяч лет вперед или назад. [c.366] Однако следует заметить, что даже ггоименепие современных вычислительных средств может оказаться неспособным предсказать влияние возмущений, если фазовая точка попадает в зону экспоненциальной неустойчивости. [c.366] Еще большее значение асимптотические и качественные методы имеют при исследовании движения заряженных частиц в магнитных нолях, так как нри этом частица обгоняет вычислительную машину и успевает сделать столь много оборотов, что машинное вычисление ее траектории невозможно даже в отсутствие экспоненциальной неустойчивости. [c.366] Для учета возмущений в небесной механике был разработан целый ряд методов. (Подробный разбор их имеется в книге П у а н-к а р е А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 1, Т. 2.—М. Наука, 1971, 1972.) Особенностью всех этих методов является то, что они приводят к расходящимся рядам и потому не дают никакой информации о поведении движения в целом на бесконечных интервалах времени. [c.366] например. Юпитер и Сатурн в своем движении вокруг Солнца проходят за сутки примерно 299 и 120,5 секунды дуги соответственно. Следовательно, знаменатель 2 oJQ — бсо весьма мал но сравнению с каждой из частот. Это приводит к большому долгопериодическому возмущению планет друг другом (его период около 800 лет) изучение Лапласом этого эффекта было одним из первых успехов теории возмущений. [c.367] Заметим, что трудность, вызванная малыми знаменателями, весьма существенна. Действительно, рациональные числа образуют всюду плотное множество. Поэтому в фазовом пространстве невозмущенной задачи всюду плотное множество образуют такие начальные условия, при которых имеются резонансы и малые знаменатели обращаются в нуль. Таким образом, функции, к которым приводят ряды теории возмущений, имеют всюду плотное множество особых точек. [c.367] Арнольд В. И. Малые знаменатели II Доказательство теоревлы Л. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений нри малом изменении функции Гамильтона // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 5.— С. 13—40. [c.368] Арнольд В. И. Малые знаменатели III Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6.-С. 81-192. [c.368] Мозер Ю. O разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды // УМН.— 1969.— Т. 24, вып. 2.— С. 165—211 (Math. Ann.- 1967.- T. 169— P. 136—176). [c.368] Прежде чем формулировать результаты, мы коротко обсудим поведение фазовых кривых невозмущенноп задачи, уже изученное в гл. 10. [c.368] Невозмущенное движение. Система с гамильтонианом Но (/) имеет п первых интегралов в инволюции п переменных действия). Каждое множество уровня всех этих интегралов представляет собой .-мерный тор в 2п-мерном фазовом пространстве. Этот тор инвариантен относительно фазового потока невозмущенной системы каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. [c.368] Следовательно, фазовая кривая всюду плотно заполняет тор такого числа измерений, сколько среди частот со арифметически независимых. [c.368] Заметим, что частоты зависят от того, какой именно из торов мы рассматриваем, т. е. какие именно значения первых интегралов мы зафиксировали. Система п функций со от и переменных /, вообще говоря, функционально независима в таком случае мы можем просто нумеровать торы частотами, выбрав переменные со за координаты в окрестности рассматриваемой точки в пространстве переменных действия I. [c.368] Вернуться к основной статье