ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи неподвижных точек и замкнутых траекторий из "Математические методы классической механики " По теореме Э. Нётер однопараметрические группы симметрий динамической системы определяют первые интегралы. Если система выдерживает более широкую группу симметрий, то возникает несколько интегралов. [c.337] Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. [c.337] Разбиение фазового пространства на совместные многообразия уровня первых интегралов имеет, вообще говоря, особенности. Примером является разбиение фазовой плоскости на линии уровня энергии. [c.337] Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — какая-либо группа Ли его диффеоморфизмов. Каждый диффеоморфизм переводит 1-формы на V в 1-формы. Поэтому группа G действует на кокасательном расслоении М = = T V. [c.338] Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338] Замечание. Появление константы С в этой формуле является следствием интересного явления существования двумерного класса когомологий алгебры Ли (глобально) гамильтоновых полей. [c.338] Билинейная кососимметрическая функция на алгебре Ли с таким свойством называется двумерным коциклом алгебры Ли. [c.338] Класс когомологичных друг другу коциклов называется классом когомологий алгебры Ли. [c.339] симплектическое действие группы С, при котором существуют, однозначные гамильтонианы, задает двумерный класс когомологий алгебры Ли группы С. Этот класс когомологий измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона функций Гамильтона. [c.339] Иными словами, пусссоновское действие группы задает гомоморфизм алгебры Ли этой группы в алгебру Ли функций Гамильтона. [c.339] Теорема. Построенное действие пуассоновское. [c.339] Аналогично проверяется, что симплектизация всякого контактного действия является пуассоновским действием. [c.339] Пример. Пусть V — трехмерное евклидово пространство, а С — шестимерная группа его движений. Базис алгебры Ли образуют шесть однопараметрических групп сдвиги со скоростью 1 вдоль координатных осей и вращения с угловой скоростью 1 вокруг этих осей. Соответствующие функции Гамильтона, согласно формуле (1), равны (в обычных обозначениях) Рг, Р2. Рз Мх, М , М , где = д р — д р и т. д. Доказанная теорема означает, что попарные, скобки Пуассона этих шести функций равны функциям Гамильтона коммутаторов соответствующих однопарамвтрических групп. [c.339] Мы будем называть отображение Р моментом, следуя предложению Сурио. Заметим, что значение момента — всегда вектор линейного пространства д. [c.340] Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340] Тогда отображение момент Р Л/ — д может быть описано следующим образом. Рассмотрим отображение Ф С М, заданное действием всех элементов группы С на фиксированную точку ж из М (так что Ф (я) = gx). Каноническая 1-форма а на Л/ индуцирует на С 1-форму Ф а. Ее сужение на касательное пространство к С в единице есть линейная форма на алгебре Ли. [c.340] каждой точке ж из Л/ мы сопоставили линейную форму на алгебре Ли. Легко проверить, что полученное отображение и есть момент рассматриваемого пуассоновского действия. [c.340] В частности, если V — евклидово трехмерное пространство, а С — группа его вращений вокруг точки О, то значения момента — это обычные векторы кинетического момента если С — группа вращений вокруг оси, то значения момента суть кинетические моменты относительно этой оси если С — группа параллельных переносов, то значения момента — это векторы импульсов. [c.340] Следствие. Пусть функция Гамильтона Н М инвариантна относительно пуассоновского действия группы С на М. Тогда момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н. [c.340] Вернуться к основной статье