ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических многообразиях из "Математические методы классической механики " Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп. [c.283] Среди примеров, охватываемых такой обобщенной теорией Эйлера, движение твердого тела в многомерном пространстве и, что особенно интересно, гидродинамика идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В последнем случае в качестве группы выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема. Принцип наименьшего действия в этом примере означает, что движение жидкости описывается геодезической метрики, заданной кинетической энергией (при желании можно считать этот принцип математическим определением идеальной жидкости). Легко проверить, что указанная метрика (право) инвариантна. [c.283] Конечно, распространять результаты, полученные для конечномерных групп Ли, на бесконечномерный случай следует с осторожностью. Например, в трехмерной гидродинамике до сих пор нет теорем существования и единственности решений уравнений движения. [c.283] Например, уравнения Эйлера движения тверого тела имеют своим аналогом в гидродинамике уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Теореме Эйлера об устойчивости вращений вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции отвечает в гидродинамике слегка обобщенная теорема Релея об устойчивости течений без точек перегиба профиля скоростей и т. д. [c.283] Из формул Эйлера легко извлечь также явное выражение для римановой кривизны группы с односторонне инвариантной метрикой. В применении к гидродинамическому случаю мы находим кривизну группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. [c.283] Интересно отметить, что для достаточно хороших двумерных направлений кривизна оказывается конечной, и во многих случаях — отрицательной. [c.283] Отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических (см. добавление 1). В рассматриваемом случае геодезические — это течения идеальной жидкости. Поэтому из вычисления кривизны группы диффеоморфизмов можно извлекать некоторую информацию о неустойчивости течений идеальной жидкости. [c.284] Именно, кривизна определяет характерный путь, на котором отклонения начальных условий вырастают в е раз. Отрицательность кривизны приводит к практической непредсказуемости течения на пути, большем характерного всего в несколько раз, отклонения начальных условий от расчетных увеличатся в сотни раз. [c.284] Арнольд B. И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. вузов. Математика.—1966.— 5, вып. 54.— С. 3-5. [c.284] Арнольд В. И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жидкости при малом возмуш,ении начального поля скоростей //ПММ.— 1972.- Т. 36, 2,- С. 255—262. [c.284] Арнольд В.И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости//УМН.—1969.— Т. 24, 3 (147).— С. 225—226. [c.284] Дикий Л. А. Замечание о гамильтоновых системах, связанных с группой вращений // Функц. анализ и его приложения.—1972.— Т. 6, 4. [c.284] Ладыженская О. A. О разрешимости в малом нестационарных задач для несжимаемых идеальных и вязких жидкостей и исчезающей вязкости // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных сешшаров ЛОМИ, т. 21).— М. Л. Наука, 1971.— С. 65—78. [c.284] Обухов А.М. Об интегральных инвариантах в системах гидродина-мческого типа // ДАН СССР.—1969.— Т. 184, 2. [c.284] Фаддеев Л.Д. К теории устойчивости стационарных плоско-параллельных течений идеальной жидкости // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 21).— М. Л. Наука, 1971,— С. 164-172. [c.284] Обозначения. Присоединенное и коприсоединенное представления. Пусть G — вещественная группа Ли, g — ее алгебра Ли, т. е. касательное пространство к группе в единице, снабженное операцией коммутирования [,]. [c.284] Ясно также, что Adg = Ad Ad/,. [c.285] рассмотрим Ad как отображение группы в пространство линейных операторов на алгебре Ad (g) = Adg. [c.285] Вернуться к основной статье