ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ДОБАВЛЕНИЯ Добавление 1. Риманова кривиана из "Математические методы классической механики " Здесь доказана адиабатическая инвариантность переменной действия в системе с одной степенью свободы. [c.256] Системы, близкие к интегрируемым. Мы рассмотрели выше довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.). Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах они оказались обмотками торов , заполняющилш всюду плотно инвариантные торы в фазовом пространстве каждая траектория распределена на этом торе равномерно. [c.256] Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением Я = к ). Термин неинтег-рируемые в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. [c.256] Исследование таких сложных систем еще далеко от завершения оно составляет задачу эргодической теории . [c.256] Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного центра упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая задача — линейная). При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод. [c.256] Забудем временно о гамильтоновости системы и рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений (1), заданную на прямом произведении X G -мерного тора = = ф = (ф1,. . фк) modd 2п) и области G i-мерного пространства G С R = i = (/i,. . /г) - При 8 = 0 движение (1) условно-периодическое, Л-частотное, с Л-мерными инвариантными торами. [c.257] Утверждается, что система (2) хорошо аппроксимирует систему (1). [c.257] Заметим, что этот принцип — не теорема, не аксиома и не определение, а физическое предложение, т. е. расплывчато сформулированное и, строго говоря, неверное утверждение. [c.257] Такие утверждения часто бывают плодотворными источниками математических теорем. [c.257] Рассматриваемый принцип усреднения явно встречается уже у Гаусса (при изучении возмущений планет друг другом Гаусс предложил размазать массу каждой планеты по ее орбите пропорционально времени и заменить притяжение планет притяжением полученных колец). Тем не менее удовлетворительное исследование связи между решениями систем (1) и (2) в общем случае не проведено и посейчас. [c.257] При замене системы (1) системой (2) мы откидываем в правой части слагаемое ед(1, ( ) = ед(Т, ф) — (/). Это слагаемое имеет порядок 8, такой же, как и оставленное слагаемое гд. Чтобы понять различие роли слагаемых д ш д ъ д, рассмотрим простейший пример. [c.257] Таким образом, изменение / со временем состоит из двух частей осцилляций порядка е, зависящих от и систематической эволюции со скоростью (рис. 224). [c.258] Принцип усреднения основан на представлении о том, что и в общем случае движение системы (1) можно разделить на эволюцию (2) и малые осцилляции. В общем виде такое представление не обосновано, а сам принцип неверен. [c.258] Иными словами, в гамильтоновой невырожденной системе эволюции нет. [c.258] Сказанного достаточно, чтобы убедиться в важности принципа усреднения сформулируем теперь теорему, обосновывающую этот принцип в одном весьма частном случае — случае одночастотных колебаний к — 1). Эта теорема показывает, что усредненное уравнение правильно описывает эволюцию на большом отрезке времени (О i 1/е). [c.258] Обозначим через I t), ф (t) решение системы (1) с начальным условием Т (0), ф (0), а через J (t) — решение системы (2) с тем же начальным условием J 0) — I (0) (рис. 225). [c.259] Некоторые приложения этой теоремы будут даны ниже ( адиабатические инварианты ). Заметим, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущение) важнее самой теоремы это — одна из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений она встречается уже в элементарном курсе в виде метода вариации постоянных . [c.259] Вообще говоря, такое уравнение неразрешимо в классе периодических по ф функций к. Действительно, среднее значение (по ф) левой части равно всегда О, а среднее значение правой части может и не равняться 0. [c.260] определим функцию к формулой (9). Тогда, ввиду условий 1) и 2) доказываемой теоремы, функция к удовлетворяет оценке II к Пс С Сз, где Сз (с , с) 0. Чтобы установить неравенства (8), остается оценить к. Для этого прежде всего нужно показать, что замена (3) обратима. [c.260] Зафиксируем положительное число а. [c.260] Вернуться к основной статье