ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Усреднение из "Математические методы классической механики " В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. [c.250] Величины ffli,. . ., называются частотами условно-периодического движения. Частоты называются независимыми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел если f G Z ) и (к, ю) = О, то f = 0. [c.251] Пространственное и временное средние. Пусть / (ф) — интегрируемая функция на торе Г . [c.251] Рассмотрим значение функции / (ф) на траектории Ф (i) = = фо + roi. Это — функция времени / (фо -Ь i). Рассмотрим ее среднее. [c.251] Задача. Покажите, что если частоты зависимы, то временное среднее может не всюду совпадать с пространственным. [c.252] Следствие 1. Если частоты независимы, то каждая траектория ф(0 всюду плотна на торе Г . [c.252] Доказательство. Предположим противное. Тогда в окрестности D некоторой точки тора нет точек траектории ф( ). Легко построить непрерывную функцию /, равную нулю вне D и с пространственным средним / = 1. Временное среднее / (фо) на траектории ф( ) равно О Ф I. Противоречие с утверждением теоремы доказывает следствие 1. [c.252] Следствие 2. Если частоты независимы, то каждая траектория равномерно распределена на торе Г . [c.252] Это означает, что доля времени, которое траектория проводит в области D, пропорциональна мере D. [c.252] Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252] Доказательство теоремы об усреднении. [c.252] Лемма 1. Теорема верна для экспонент, / = f S Z . [c.252] Доказательство. И временное и пространственное среднее зависят от / линейно, поэтому совпадают по лемме 1, ч. т. д. [c.253] Доказательство. Пусть сначала / непрерывна. По теореме Вейершт-расса ее можно приблизить тригонометрическим полиномом Р, I / — I е/2. [c.253] Теперь легко окончить доказательство теоремы. Пусть е 0. Тогда по лемме 3 существуют тригонометрические Полиномы / Рг, (2я) (Ра — Р ) р е. [c.253] Вырождения. До сих пор мы рассматривали случай, когда частоты ю независимы. Целочисленный вектор Тс Z называется соотношением между частотами, если к, ю) = 0. [c.254] Задача. Докажите, что множество всех соотношений между данными частотами ы образует подгруппу Г решетки 2 . [c.254] Но мы видели в 49, что такая подгруппа состоит из всех целочисленных линейных комбинаций г независимых векторов кх, 1 г п. Мы скажем, что между частотами имеется г (независимых) соотношений ). [c.254] Задача. Докажите, что если система невырождена, то в любой окрестности любой точки имеются условно-периодические движения с п частотами, а также с любым меньшим числом частот. [c.255] Вернуться к основной статье