ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений Гамильтона из "Математические методы классической механики " В этом параграфе определяется производящая функция свободного канонического преобразования. [c.226] Идея метода Якоби — Гамильтона состоит в следующем. При канонической замене координат сохраняется канонический вид уравнений движения, а также функция Гамильтона ( 45, А). [c.226] Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать и исходные канонические уравнения. Оказывается, задача построения такого канонического преобразования сводится к отысканию достаточно больнгого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению должна удовлетворять производящая функция искомого канонического преобразования. [c.226] Переходя к аппарату производящих функций, замечу, что он удручающе неинвариантен и существенно использует координатную структуру в фазовом пространстве р, д) . В соответствии с этим приходится пользоваться аппаратом частных производных, а это такой объект, в самом обозначении которого уже кроется двусмысленность ). [c.226] Задача. Докажите, что и обратно, если эта форма — полный дифференциал, то преобразование — каноническое. [c.226] Определение. Функция г (О, д) называется производящей функцией нашего канонического преобразования g. [c.227] Подчеркнем, что не есть функция на фазовом пространстве Д2П эха функция задана в области прямого произведенияТ1д X X Ко некоторых двух м-мерных координатных пространств, точки которых обозначаются через д п О. [c.227] Оказывается, и обратно, всякая функция 5 задает некоторое каноническое преобразовахше g по формулам (2). [c.227] По теореме о неявной функции это уравнение разрешимо и определяет в окрестности точки [д - Ро = о ) ФУнкцию О р, д) (причем О ро, д = Оо)- Действительно, нужный определитель здесь как раз det яо от 0. [c.227] Преобразование д - задается вообще 2п функциями от 2п переменных. Мы видим, что каноническое преобразование задается всего одной функцией 2п переменных — своей производящей функцией. Легко сообразить, какую выгоду дает применение производящих функций во всех вычислениях, связанных с каноническими преобразованиями. Эта выгода тем больше, чем больше число переменных 2п. [c.228] Таким образом, в новых переменных уравнения (5) имеют вид (3), откуда непосредственно вытекает теорема Якоби. [c.229] Теорема Якоби сводит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) к отысканию полного инте1рала уравнения в частных производных (4). Может показаться удивительным, что такое сведение более простого к более сложному доставляет эффективный метод решения конкретных задач. Между тем оказывается, что это — самый сильный из сущ ествую111 11х методов точного интегрирования, и многие задачи, решенные Якоби, вообще не поддаются решению другими методами. [c.229] Задача. Выразить функцию Гамильтона через эллиптические координаты. [c.230] Решение. Линии = onst суть эллипсы с фокусами в и 0 , ] = onst — гиперболы с теми же фокусами (рис. 205). Они взаимно ортогональны, поэтому ds = Найдем коэффициенты а и Ь. При движении вдоль эллипса имеем dr = ds os а, dr = —ds os a, dr] = 2 os a ds. [c.230] При движении вдоль гиперболы имеем drj = ds sin a, drj = ds sin a, d = 2 sin a ds. Итак, a =(2 sin a) , b = (2 eos a) i. [c.230] Другое применение задачи о притяжении двумя неподвижными центрами — это исследование движений с постоянной тягой в пож одного притягивающего центра. [c.231] Речь идет о движении материальной точки под действием ньютоновского притяжения неподвижного центра и еще одной силы ( тяги ), постоянной по величине и направлению. [c.231] Эта задача может рассматриваться как предельный случай задачи о притяжении двумя неподвижными центрами. В процессе предельного перехода второй центр удаляется на бесконечность в направлении силы тяги (причем его масса должна расти так, чтобы обеспечить постоянство тяги, т. е. пропорционально квадрату удаления). [c.232] Получающийся предельный случай задачи о притяжении двумя неподвижными центрами интегрируется в явном виде (в эллиптических функциях). В этом можно убедиться при помощи предельного перехода или же непосредственно разделяя переменные в задаче о движении с постоянной тягой в поле одного центра. [c.232] Вернуться к основной статье