ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Гюйгенса из "Математические методы классической механики " Основные понятия гамильтоновой механики (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р dq — Hdt, уравнение Гамильтона — Якоби, о котором будет идти речь ниже) возникли при перенесении на общие вариационные принципы (и, в частности, на принцип стационарного действия Гамильтона, dt 0) некоторых весьма простых и естественных понятий геометрической оптики, управляемой частным вариационным принципом — принципом Ферма. [c.218] Волновые фронты. Рассмотрим коротко ) основные понятия геометрической оптики. Согласно экстремальному принципу Ферма, свет распространяется из точки Qq в точку за кратчайшее время. При этом скорость света может зависеть как от точки q ( неоднородная среда ), так и от направления луча ( неизотропная среда — например, кристаллы). [c.218] Свойства среды можно описать, задав в касательном пространстве в каждой точке q поверхность ( индикатрису ). Для этого отложим по каждому направлению вектор скорости распространения Света в данной точке по данному направлению (рис. 192). [c.218] Пусть теперь 0. Рассмотрим множество всех точек д, до которых свет из данной точки мошет дойти за время, меньшее или равное I. Граница этого множества, ( ), называется волновым фронтом точки через время i и состоит из точек, до которых свет мошет дойти за время i и не может дойти быстрее. [c.219] Между волновыми фронтами, соответствующими разным значениям I, имеется замечательное соотношение, открытое Гюйгенсом (рис. [c.219] Теорема Гюйгенса. Рассмотрим волновой фронт точки через время I, ( ). [c.219] В самом деле, пусть е Фд, (i + ). Тогда существует путь из 0 в дш, по которому время распространения света равно i + 5, и нет более короткого. Рассмотрим точку на этом пути, до которой свет идет время I. Никакого более короткого пути от д до gt не может быть, иначе путь Зовгм не был бы кратчайшим. Поэтому точка д1 лежит на фронте Ф, I). Точно так же путь дьдш свет проходит за время 5, и из точки в +8 нет более короткого пути. Поэтому точка +8 лежит на фронте точки дг за время 5, Ф,, (в). [c.219] ТО в некоторые точки Ф, I + з) можно было бы добраться из д за время, меньшее 5, а значит, из д — за время, меньшее Это противоречит определению Ф, I + 8) итак, фронты Фд ( ) и Фд (i + з) касаются в точке д -а, что и требовалось доказать. [c.219] Принцип Гюйгенса приводит к двум описаниям процесса распространения. Во-первых, мы мошем следить за лучами, т. е. кратчайшими путями распространения света. В этом случае локальный характер распространения задается вектором скорости д. Если направление луча известно, то величина вектора скорости задается свойствами среды (индикатрисой). [c.220] С другой стороны, мы мошем следить за волновым фронтом. [c.220] Предполошим, что в пространстве д задана риманова метрика. Тогда мошно говорить о скорости движения волнового фронта. Рассмотрим, например, распространение света в среде, заполняющей обычное евклидово пространство. Тогда двишение волнового фронта мошно характеризовать перпендикулярным фронту вектором р, который строится следующим образом. [c.220] Для кашдой точки до определим функцию (д) как оптическую длину пути от до д, т. е. наименьшее время распространения света от до до д. [c.220] Направление луча д и направление двишения фронта р в неизотропной среде не совпадают. Однако они связаны друг с другом простым соотношением, легко выводящимся из принципа Гюйгенса. Напомню, что свойства среды в кашдой точке характеризуются поверхностью векторов скорости света — индикатрисой. [c.220] Определение. Направление гиперплоскости, касающейся индикатрисы в точке V, называется сопряженным к направлению V (рис. 196). [c.221] Теорема. Направление волнового фронта Фд I) в точке сопряжено направлению луча, д. [c.221] Переходя к пределу при 8- 0, получаем сформулированную теорему. [c.221] При изменении вспомогательной метрики, с помощью которой мы определили вектор р, будет меняться понятие скорости движения фронта, а значит, и величина и направление вектора р. [c.221] Однако дифференциальная форма р йд == й8 на пространстве д = К определена не зависящим от вспомогательной метрики образом ее значение зависит лишь от выбранного фронта (или луча). На гиперплоскости, сопряженной вектору скорости луча, эта форма равна О, а ее значение на векторе скорости равно 1 ). [c.221] Оптико-механическая аналогия. Вернемся теперь к механике. Здесь траектории движения также являются экстремалями вариационного принципа, и можно строить механику как геометрическую оптику многомерного пространства. Именно так и поступил Гамильтон мы не будем проводить это построение во всех деталях, а только перечислим те оптические понятия, которые привели Гамильтона к основным механическим понятиям. [c.221] Механика Расширенное конфигурационное пространство (gt) . [c.221] Вернуться к основной статье