ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана из "Математические методы классической механики " Замены переменных в канонических уравнениях. Из инвариантности связи формы pdq — Hdt с ее линиями ротора вытекает способ писать уравнения движения в любой системе 2п 1 координат в расширенном фазовом пространстве р, q, i) . [c.211] Доказательство. По предыдущей теореме траектории (1) изображаются линиями ротора формы PdQ — KdT + dS. Но dS на линии ротора не влияет (так как dd5 ==0). Поэтому изображения траекторий (1) суть линии ротора формы PdQ — К dT. Согласно 44, В, линии ротора такой формы суть интегральные кривые канонических уравнений (2), что и требовалось доказать. [c.212] В частности, пусть g R - - — каноническое преобразование фазового пространства, переводящее точку с координатами р, д) в точку с координатами (Р, Q). [c.212] Функции Р (р, д), Q (р, д) можно рассматривать как новые координаты в фазовом пространстве. [c.212] Понижение порядка с помощью интеграла энергии. Пусть теперь функция Галшльтона Н р, q) не зависит от времени. Тогда канонические уравнения (1) имеют первый интеграл Н р (i), q (i)) = onst. Оказывается, с помощью этого интеграла можно понизить размерность пространства (2/г -j- 1) на две единицы, сведя задачу к интегрированию некоторой системы канонических уравнений в 2п — 1-мерном пространстве. [c.213] Указание, d (Я ) не влияет на линии ротора, айЯна Л/ есть нуль. [c.213] Принцип наименьшего действия в фазовом пространстве. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве р, q, t) интегральную кривую V канонических уравнений (1), соединяющую точки (ро, qo, to) и (р , gi, t y. [c.213] Теорема. Интеграл I р dq — Hdt имеет у экстремалью относительно вариаций у, при которых концы кривой остаются на п-мерных подпространствах t = tg, q Qq) vi t = q q ). [c.214] Доказательство. Кривая у — линия ротора формы pdq — Н dt (рис. 187). Поэтому интеграл pdq — Hdt по бесконечно малому параллелограмму, проходящему через направление ротора , равен нулю. [c.214] Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера—Лагранжа—Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона Н (р, д) не зависит от времени. Тогда Н (р, д) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность Н р, д) = h пз расширенного фазового пространства ( , д, i) в пространство (р, g) . Получится 2п — 1-мерная поверхность Н (Р, д) = h в R , которую мы уже рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили М . [c.215] Рассмотрим теперь проекцию экстремали, лежащей на поверхности Н р, д) = h, на д-пространство. Эта кривая соединяет точки до и д . [c.215] Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи Эйлера— Лагранжа — Якоби) ). Важно отметить, что отрезок о х Ь, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть разным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траекторк[и, но не время для определения времени нужно воспользоваться постоянной энергии. [c.216] Особенно простую форму доказанный принцип принимает в случае, когда система представляет движение по инерции по гладкому многообразию. [c.216] В случае, когда имеется также потенциальная энергия, траектории уравнений динамики тоже являются геодезическими некоторой римановой метрики. [c.216] По принципу Мопертюи траектории суть геодезические метрики р, что и требовалось доказать. [c.217] Замечание 1. Метрика ф получается из у растяжением , зависяп им от точки д, но не зависящим от направления. Поэтому углы в метрике ф совпадают с углами в метрике йз. На границе области [7 к метрика йр имеет особенность чем ближе мы подходим к границе, тем меньше становится р — длкша. В частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе ([/ — Л), равна нулю. [c.217] Вернуться к основной статье