ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты из "Математические методы классической механики " Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый поток сохраняет объемы. Пуанкаре нашел целый ряд дифференциальных форм, сохраняемых гамильтоновым фазовым потоком. [c.177] Группа называется гамильтоновым фазовым потоком с ункцией Гамильтона Н. [c.178] Теорема. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру. [c.178] Для доказательства теоремы полезно ввести следующие обозначения (рис. 167). [c.178] Пусть М — произвольное многообразие, с — А-цепь в М, М М — однопараметрическое семейство дифференцируемых отображений. Построим к + 1-цепь /с в М, называемую следом цепи с при гомотопии О т. [c.178] Можно сказать, что /с — это цепь, которую с заметает при гомотопии g , О т. Граница цепи /с из торцов , образованных начальным и конечным положениями с, и боковой поверхности , заметенной границей с. [c.178] Следствие. Если цепь у замкнута ду = 0), то = о . [c.179] Интегральные инварианты. Пусть д М М — дифференцируемое отображение. [c.179] Пример. Если М = К, а иА — ёр / йд — элемент площади, то ю является интегральным инвариантом всякого отображения g с якобианом 1. [c.179] Задача. Докажите, что форма ю является интегральным инвариантом отображения д тогда и только тогда, когда g w = ш. [c.179] Задача. Докажите, что если формы ю и ю — интегральные инварианты отображения g, то форма ю Д са — также интегральный инвариант . [c.179] Теорема. Задающая симплектическую структуру форма (о является интегральным инвариантом гамильтонова фазового потока. [c.179] Следствие. Каждая из форм (со ) , (о ) ,. . . является гттегралъным инвариантом гамильтонова фазового потока. [c.180] Определим элемент объема на Л/ при помощи (о ) . Тогда гамильтонов фазовый поток сохраняет объемы, и мы получаем из предыдущего следствия теорему Лиувилля. [c.180] Отображение g К - К называется каноническим, если оно имеет ю интегральным инвариантом. Каждая из форм о, й ,. . ., (I) является интегральным инвариантом всякого канонического отображения. Следовательно, при каноническом отображении сохраняется сумма ориентированных площадей проекций на координатные плоскости (р1 ,. . ., Р1 ,. . ., 5 ), 1 ге. В частности, канонические отображения сохраняют объемы. [c.180] Рассмотренные выше интегральные инварианты называют также абсолютными. [c.180] Теорема. Пусть (о — относительный интегральный инвариант отображения д, тогда йа — абсолютный интегральный инвариант . [c.180] Вернуться к основной статье