ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ЧАСТЬ Ш ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Дифференциальные формы из "Математические методы классической механики " Это движение вокруг ш называется прецессией. [c.131] Задача. Найти угловую скорость прецессии. [c.131] Разложим вектор угловой скорости ю по направлениям векторов момента ш и оси тела В е . Первая компонента и даст угловую скорость прецессии сОцр = МИ . [c.131] Указание. Представить движение тела в виде произведения поворота вокруг оси момента и последующего поворота вокруг оси тела. Угловая скорость произведения обоих движений равна сумме векторов их угловых скоростей. [c.131] Замечание. Твердое тело, закрепленное в точке О, в отсутствие внешних сил, представляет собой лагранжеву спстему, конфигурационным пространством которой является группа, а именно 30(3), причем функция Лагранжа инвариантна относительно левых сдвигов. [c.131] Можно показать, что значительная часть эйлеровой теории твердого тела использует только это обстоятельство, а потому сохраняет силу для произвольной левоинвариантной лагранжевой системы на произвольной группе Ли. [c.131] В частности, применяя эту теорию к группе диффеоморфизмов римановой области В, сохраняющих элемент объема, можно получить основные теоремы гидродинамики идеальной жидкости. [c.131] Здесь рассмотрено днижение осесимметричного твердого тела, закрепленного в неподвижной точке, в однородном силовом поле. Движение это составляется из трех периодических процессов вращения, прецессии и нутации. [c.131] Углы Эйлера. Рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке О и подверженное действию силы веса тд. Задача о движении такого тяжелого твердого тела в общем случае до сих пор не решена и в некотором смысле неразрешима. [c.131] Есть важный частный случай, когда задачу можно полностью решить — случай симметричного волчка. Симметричным или лагранжевым волчком называют закрепленное в неподвижной точке О твердое тело, у которого эллипсоид инерции в О есть эллипсоид вращения и центр тяжести лежит на оси вращения вз (рис. 125). [c.132] Если удастся ввести три координаты так, чтобы среди них были углы вращения вокруг оси 2 и вокруг оси волчка, то эти координаты будут циклическими, и задача с тремя степенями свободы сведется к задаче с одной степенью свободы (для третьей координаты). [c.132] Такой выбор координат в конфигурационном пространстве 80(3). возможен эти координаты ф, ч , 6 называются углами Эйлера и образуют в 80(3) локальную систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов и многозначностью на одном меридиане. [c.132] В результате всех трех вращений е,. переходит в е , а в вз, поэтому ву переходит в е . [c.133] Подобно географической долготе, ф и ij) можно считать углами mod 2л при 0 = 0 или 6 = л отображение (ф, 6, ij)) — Б имеет особенность типа полюса. [c.133] Вычисление функции Лагранжа. Выразим функцию Лагранжа через координаты ф, 6, ij) и их производные. [c.133] Сосчитаем кинетическую энергию. Здесь полезна маленькая хитрость рассмотрим частный случай, когда ф = ij) = 0. [c.133] Но кинетическая энергия от ф и ф зависеть не может это циклические координаты, и не меняющим Т выбором начала отсчета ф и ф мы всегда можем сделать ф = О, ф = 0. [c.134] полученная формула для кинетической энергии справедлива при всех ф, ф. [c.134] Постоянный по 6 член =Е — Е на уравнение для 0 не влияет. [c.135] Чтобы изучить полученную одномерную систему, удобно сделать замену os 6 = м (—1 м 1). [c.135] Вернуться к основной статье