ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо из "Математические методы классической механики " Здесь исследуется движение твердого тела вокруг неподвижной точки в отсутствие внешних сил и тем самым движение свободного твердого тела. Движение оказывается двухчастотным. [c.127] Уравнение Эйлера. Рассмотрим движение твердого тел вокруг неподвижной точки О. Пусть М — вектор кинетического момента тела относительно О в теле, О — вектор угловой скорости в теле, А — оператор инерции (Лй = М) векторы й, М принадлежат подвижной системе координат К ( 26). Вектор кинетического момента тела относительно О в пространстве ш = = ВМ сохраняется при движении ( 28, Б). [c.127] Значит, вектор М в теле (М е К) должен двигаться так, чтобы вектор т = В(М 1) при изменении I не менялся. [c.127] Но так как момент относительно пространства ш сохраняется (т = 0), то Ж + [й, М = О, ч. т. д. [c.127] Исследование решений уравнения Эйлера. [c.128] Доказательство. сохраняется по закону сохранения энергии, а — по закону сохранения момента т, так как = Ж = ЛЯ. Лемма доказана. [c.128] М лежит на пересечейии эллипсоида со сферой. Чтобы разобраться в строении кривых пересечения, зафиксируем эллипсоид О и будем менять радиус сферы М (рис. 121). [c.128] Каждый из шести концов полуосей эллипсоида есть отдельная траектория уравнений Эйлера (2) — стационарное положение вектора М. Ему соответствует постоянное значение вектора угловой скорости, направленного вдоль одной из осей инерции ес, при этом 2 остается все время коллинеарным М. Поэтому вектор угловой скорости сохраняет свое положение в пространстве коллинеарным ш тело просто вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в пространстве оси инерции е,-. [c.129] как мы предполагалп, ij /г /з, то правая часть уравнения Эйлера больше нигде в О не обращается, т. е. других стационарных вращений нет. [c.129] Исследуем теперь устойчивость стационарных решений уравнения Эйлера (по Ляпунову). [c.129] В каждый момент времени эллипсоид Э занимает в неподвижном пространстве к положение B Э. [c.129] Теорема (Пуансо). Эллипсоид инерции катится без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору момента ш (рис. 122). [c.129] ОСИ с с Б(Э нормаль к Б(Э как раз коллинеарна т. [c.130] расстояние плоскости л от О не меняется, т. е. плоскость л неподвижна. [c.130] Так как точка касания лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю. Значит, эллипсоид катится по л без скольжения, ч. т. д. [c.130] Следствие. При близких к стационарному вращению вокруг большой или малой) оси инерции начальных условиях угловая скорость остается всегда близкой к своему начальному положению не только в теле (й), но и в пространстве ( ). [c.130] Рассмотрим теперь траекторию точки касания на неподвижной плоскости л. Когда на эллипсоиде точка касания сделает полный оборот, начальные условия повторятся, с той лишь разницей, что тело повернется на некоторый угол а вокруг оси т. [c.130] Точка касания заметает при этом на плоскости л всюду плотно кольцо с центром О (рис. 123). [c.130] Указание. За ф1 принять фазу периодического изменения М. [c.130] Вернуться к основной статье