ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение в подвижной системе координат из "Математические методы классической механики " В этом параграфе определяется угловая скорость. [c.111] Подвижные системы координат. Рассмотрим лагранжеву систему, которая в координатах д , I описывается функцией Лагранжа Ь (о , 1). Часто бывает полезно перейти к подвижной системе координат О = О (д, 1). [c.111] Чтобы записать уравнения движения в подвижной системе, достаточно выразить через новые координаты функцию Лагранжа. [c.111] Движения, вращения, поступательные движения. Рассмотрим, в частности, важный случай, когда д — декартов радиус-вектор точки относительно инерциальной системы координат /с (которую мы будем называть неподвижной), а О — декартов радиус-вектор той же точки относительно подвижной системы координат К. [c.111] Определение. Пусть к, К — ориентированные линейные евклидовы пространства. [c.111] Определение. Движение Вг называется вращением если оно переводит начало координат К в начало координат к, т. е. если В — линейный оператор. [c.112] Доказательство. Положим г ( ) = В О, В == С7 В1-Тогда 8(0 = О, ч. т. д. [c.112] О п р е д е л е н и е. Движение В называется поступательным, если соответствующее ему отображение В . К к от не зависит В = Вд = В, ВгО = ВО + г ( ). [c.112] Чтобы выяснить смысл входящих в (2) трех слагаемых, рассмотрим вначале частные случаи. [c.112] Угловая скорость. В случае вращения системы К связь между относительной и абсолютной скоростями не столь проста. Рассмотрим сначала случай, когда наша точка покоится относительно К (т. е. О = 0), а система координат К враш ается (т. е. г = 0). В этом случае движение точки д ( ) называется переносным вращением. [c.113] Вектор й называется мгновенной угловой скоростью, очевидно, ов определен равенством (4) однозначно. [c.113] Следствие. Пусть твердое тело К вращается вокруг неподвижной точки О пространства к. Тогда в каждый момент времени существует мгновенная ось вращения — такая прямая в теле, проходящая через О, что скорости ее точек в данный момент раены 0. Скорости остальных точек перпендикулярны этой прямой и пропорциональны расстоянию до нее. [c.113] Мгновенная ось враш ения в пространстве к задается своим вектором (л в К соответствующий вектор обозначается через й = = В (д К И называется вектором угловой скорости в теле. [c.113] Поэтому, если мы выразим О через д, получим д = ВВ д = Ад где А = ВВ кк — линейный оператор тг к ъ к. [c.113] Доказательство. Все кососимметрические операторы К К образуют линейное пространство. Размерность его равна 3, так как кососимметрическая 3x3 матрица определяется тремя своими наддиагональными элементами. [c.114] Оператор векторного умножения на о линеен и кососимметричен. Операторы векторного умножения на всевозможные векторы трехмерного пространства ю образуют линейное подпространство пространства всех кососимметрических операторов. [c.114] Размерность этого подпространства равна 3. Позтому подпространство, образованное векторными умножениями, совпадает с пространством всех кососимметрических операторов, ч. т. д. [c.114] Переносная скорость. Случай чисто вращательного движе-мия. Пусть теперь система К вращается (г = 0), а точка в системе К движется (О ф 0). Из (2) находим (рис. 106). [c.114] Вернуться к основной статье