ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параметрический езонанс из "Математические методы классической механики " Задача. Исследовать собственные колебания плоского двойного маятника (рис. 88). [c.99] Задача. Найти вид траектории малых колебаний материальной точки на плоскости, находящейся в центре правильного треугольника и соединенной одинаковыми пружинами с верпшнами (рис. 89). [c.99] Решение. При повороте па 120° система переходит в себя. Следовательно, все направления собственные, а обе собственные частоты одинаковы 1/=- о)2(а 2- - /2). Значит, траектории — эллипсы (см. рис. 20). [c.99] Здесь доказаны теоремы Релея — Куранта — Фишера о поведении собственных частот системы при увеличении жесткости и при наложении связи. [c.99] Поведение собственных частот при изменении жесткости. [c.99] Т и ДЛЯ всех д,дфО. [c.99] Задача. Рассмотрите одномерный случай. [c.100] Лемма 1. Если система II жестче системы II, то соответствующий ей эллипсоид Э лежит внутри Э. [c.100] Т = -у (ё, ё ), — (Вд, д), 1Н — кинетическая п потенциальная энергия системы, совершающей малые колебания. [c.100] Экстремальные свойства собственных чисел. [c.101] Теоремы 1 и 3 непосредственно вытекают из доказанных. [c.102] Задача. Докажите, что если, не меняя потенциальной энергии системы, увеличить кинетическую (например, сохранив пружины, увеличить массы), то каждая собственная частота уменьшиться. [c.102] Задача. Докажите, что при ортогональном проектировании эллипсоида, лежащего в одном подпространстве евклидова пространства, на другое подпространство все его полуоси уменьшаются. [c.102] Задача. Пусть квадратичная форма А (е) на евклидовом пространстве R непрерывно дифференцируемо зависит от параметра е. Покажите, что каждое собственное число дифференцируемо зависит от е, и найдите производные. [c.102] В частности, если все собственные числа А (0) простые, то их производные равны диагональным элементам, матрицы В в собственном базисе А (0). [c.102] Из утвернедения этой задачи следует, что при увеличении формы ее собственные числа растут. Мы получаем, таким образом, новое доказательство теорем 1 и 2. [c.102] Если параметры системы периодически меняются со временем, то положение равновесия может сделаться неустойчивым, даже если оно и устойчиво при канедом фиксированном значении параметра. Благодаря такой неустойчивости можно раскачиваться на качелях. [c.102] Динамические системы, параметры которых меняются со временем периодически. [c.103] Вернуться к основной статье