ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принципы относительности и детерминированности из "Математические методы классической механики " Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6] Необыкновенно далеко продвинулось исследование интегрируемых задач гамильтоновой динамики. Было открыто неожиданно большое число интегрируемых динамических систем, изучение которых привело к неожиданным и взаимообогащающим связям этих вопросов с трудными проблемами алгебраической геометрии и математической физики. [c.6] В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6] Вопросы геометрии систем лучей подробно обсуждаются в двухтомнике В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гусейн-Заде Особенности дифференцируемых отображений (т. I.—М. Наука, 1982 т. II.—М. Наука, 1984), и в книге В. И. Арнольда Теория катастроф (3-е издание.—М. Наука, 1990, с обширной библиографией). [c.7] Обзоры по симплектической и контактной геометрии и их приложениям опубликованы в трудах семинара Н. Бурбаки (доклад Д. Беннекена Мистические каустики в феврале 1986 г.) и в ряде статей (Арнольд В. И. Первые шаги симплектической топологии // УМН.—1986.— Т. 41, вып. 6.— С. 3—18 Особенности систем лучей // УМН.—1983.— Т. 38, вып. 2.— С. 77—147 Особенности в вариационном исчислении // Современные проблемы математики.- ВИНИТИ.— 1983,— Т. 22,— С. 3-55 Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений // УМН.— 1988.— Т. 43, вып. 3.- С. 125—160). [c.7] Выпуски 22 и 33 серии Итоги науки. Современные проблемы математики (М. ВИНИТИ, 1983 и 1988) содержат обширный дополнительный матет иал по приложениям симплектической и контактной геометрии к исследованию вариационных задач, а тем самым к механике, оптике, теории оптимального управления и т. д. [c.7] Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления. [c.8] В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. [c.9] Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы). [c.9] С помощью этого аппарата разбираются все основные вопросы динамики системы, включая теорию колебаний, теорию движения твердого тела и гамильтонов формализм. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону явлений. В этом отношении книга ближе к курсам теоретической механики для физиков-теоретиков, чем к традиционным курсам теоретической механики, читаемым математикам. [c.9] Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих Лекциях о развитии математики в XIX столетии , Ф. Клейн писал, что физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего . Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики. [c.9] КНИГИ посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости, кол-могоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике. [c.10] Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя и не входят в программу обязательного общего курса. Некоторые из них могут составить основу специальных курсов (например, по асимптотическим методам теории нелинейных колебаний или по квазиклас-сическим асимптотикам). В добавления внесен также ряд сведений справочного характера (например, список нормальных форм квадратичных гамильтонианов). В то время как в основных главах книги автор старался проводить все доказательства как можно подробнее, избегая ссылок на другие источники, добавления состоят в основном из сводок результатов, доказательства же заменены ссылками на литературу. [c.10] Основу книги составил полуторагодовой обязательный курс классической механики, читавшийся автором студентам-математи-кам 3-го и 4-го года обучения на механико-математическом факультете МГУ в 1966—1968 гг. [c.10] Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве. В евклидовом пространстве действует шестимерная группа движений пространства. Основные понятия и теоремы ньютоновой механики (даже если они и формулируются в терминах декартовых координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.11] Ньютонова потенциальная механическая система задается массами точек и потенциальной энергией. Движениям пространства, оставляющим потенциальную энергию неизменной, соответствуют законы сохранения. [c.11] Уравнения Ньютона позволяют исследовать до конца ряд важных задач механики, например задачу о движении в центральном поле. [c.11] В этой главе описаны основные экспериментальные факты, лежащие в основе механики принцип относительности Галилея и дифференциальное уравнение Ньютона. Здесь рассмотрены ограничения на уравнения движения, накладываемые принципом относительности, и приведены простейшие примеры. [c.11] Вернуться к основной статье