ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соответствие между аналитическими и обобщенными аналитическими функциями из "Пространственные задачи теории упругости " Обобщенные аналитические функции выражаются через аналитические формулой (28.2). Используя результаты 41, легко получить ее обращение. [c.398] Из сопоставления (42.1) и (42.2) усматривается, что ф(0 = ф1(0- Следовательно, функция ф( , определяемая формулой (42.1) при фиксированной точке а пересечения линии интегрирования с осью 2, является голоморфной в В. [c.399] Для любой конечной одно-связной части области О, симметричной относительно оси 2, будут справедливы рассуждения п. 1, и функцию Ф(/) в этой части О можно выразить через соответствующую аналитическую функцию ф( ) равенством (28.2). [c.400] Пользуясь припциподг аналитического продолжения (см. п. 3 27), нетрудно убедиться, что это представление справедливо везде в рассматриваемой области О. [c.400] Рассмотрим бесконечную область В, имеющую два отверстия Ь и Ь , которые расположены симметрично относительно оси 2 (рис. 8.3). [c.401] Интересно сравнить (42.7) с выражением (28.22), которое получено для случая тороидальной полости в упругом теле ( 1 = гс). [c.402] Здесь функция фо(0 голоморфна везде внутри внешнего контура 0, а каждая из функций фу( (/ 1) голоморфна везде вне соответствующего внутреннего контура Ь] = Ь] Ь и исчезает на бесконечности. [c.403] Представление производной обобщенной аналитической функции (28.5) пригодно и в рассматриваемом случае многосвязной области. [c.404] Рассмотрим возможность представления обобщенной аналитической функции Ф( ) в форме (28.2), где аналитическую функцию ф(Р по-прежнему будем считать определенной в той же области D — D + Z) и удовлетворяющей условиям четности (6.5). Путь интегрирования в (28.2) теперь не может быть непрерывным, так как ф(Р вне D не определена. [c.404] Используя условие четности, в (42.11) перейдем к интегрированию по дуге tgt . [c.405] Ф( ) будет при этом непрерывной и дифференцируемой в той же части D. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что Ф( ) удовлетворяет уравнению (27.8). Следовательно, выражения (42.11) — (42.13) определяют некоторую обобщенную аналитическую функцию, регулярную в односвязпой части области/), пе содержащей tg. [c.406] Отметим, что tg в (42.11)—(42.13) можно совместить с контурной точкой йд, лежащей на границе области D. Тогда функция ф( будет голоморфной везде в Z), и представления (42.14) не обязательны. Однако в этом случае придется наложить определенные ограничения на поведение ф( С) в окрестности точки Ug, чтобы обеспечить существование интегралов (42.11)—(42.13). [c.407] Вопрос о возможности представления в виде интеграла (42.11) всякой обобщенной аналитической функции, регулярной в D, решается положительно. [c.407] Рассматривая значения ф( на разных берегах разреза, легко убедиться, что они отличаются лишь знаком, т. е. произведение ф( Л( , tg) представляет собой голоморфную функцию. [c.407] Тогда значения ф(С) на дуге также будут равны нулю. [c.408] При этих же условиях введем функцию Ф ( ) = Зср( . Поскольку операторы 3 и взаимно обратны, то Ф ( )= = Ф(0 Равенство Ф( ) = Зср(С) совпадает с (42.11), откуда и вытекает требуемое утверждение. [c.408] Отметим, что соответствие между Ф( ) и ф( будет взаимно однозначным (при конкретном выборе о). [c.408] Эта формула пригодна, когда точка Ц лежит на границе области В, а ф (С) при С = и 1еет особенность порядка ниже 0,5, либо когда Ц — внутренняя точка области и ф( о) = 0. [c.408] Пользуясь обобщенной формулой Коши, функцию Ф( ) регулярную в D, разложим на сумму функций Ф (0 и Ф 1,(г), где Ф (0 регулярна везде внутри замкнутых контуров ь о ш Ьо и имеет представление (42.11), а Ф ( ) регулярна везде вне внутренних контуров L i,L 2,. .., Ь п, Li, L2,. .. 1 Ьп и исчезает на бесконечности. Последняя функция имеет представление (28.2), где аналитическая функция имеет вид (42.8) при Фо(0 = 0. [c.409] Здесь функция Ро(0 голоморфна внутри контуров ь о и Ьо каждая из функций Фу(0 (/ == 1, 2,. . ., п) голоморфна вне соответствующего контура Ь Ь]- -Ь] и исчезает на бесконечности, — фиксированные точки внутри соответствующих контуров Ь]. [c.410] Вернуться к основной статье