ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приведение основной смешанной задачи к сингулярному интегральному уравнению из "Пространственные задачи теории упругости " Регулярные части обобщенных аналитических функций будем разыскивать в форме (38.25). Постоянные Л у и Bj определим формулами (38.27), как в случае второй основной задачи. [c.368] Если какой-либо из концов дуги 1д, принадлежащей Л1, лежит на оси 2, то соответствующую постоянную С д будем принимать равной нулю. Остальные вещественные постоянные Сд и С д заранее не известны. [c.369] Величина ру(т) равна единице при т е Ly и нулю в остальных случаях. [c.370] Уравнение (39.4) является аналогом соответствующего сингулярного уравнения плоской задачи (см. [166, 86], а также [94],, ИЗ]). [c.370] Пусть (т) принадлежит классу Н. С учетом сказанного в п. 2 37 можно утверждать, что функция Й, (То) принадлежит классу Н (скачки в узлах связаны с разрывом непрерывности по То ядра К х , т)). [c.371] Для точек То, не лежащих в окрестности оси симметрии, ядро К х , х) будет иметь представление (30.40), где / (То, т) принадлежит классу Яр, а К можно сделать сколь угодно малым. Поэтому ([94], 51) функция Й (Тд) также будет принадлежать классу Я при 1т х Ф 0. Последнее условие может быть снято, если Й (т ) рассматривать как разность обобщенного и обычного интегралов типа Коши с плотностью, которая в окрестности точек оси симметрии удовлетворяет условию Я. Поэтому оба интеграла будут удовлетворять условию Я. [c.371] При помощи рассуждений, приведенных в [86] (см. также [94], 115), можно убедиться, что граничные значения этой функции ф+(т) и ф (т), а следовательно и F(t) = ф+(т) — Ф (т), удовлетворяют условию Н везде на L, включая узлы. [c.372] Покажем, что функция F[x) дифференцируема. Из результатов п. 2 37 вытекает, что производная от Й (то) принадлежит классу Я, когда (т) принадлежит этому классу. [c.372] Последний интеграл легко вычисляется и равен нулю. [c.372] Если точки То и т расположены по разные стороны от оси симметрии, то из (30.25) и (30.38) следует, что произведение (т —Тд) ЛГ (Тд, т) принадлежит классу Я(1—е). [c.373] Функция /о(то) удовлетворяет условию Н везде на L, так как ему удовлетворяет левая часть равенства. Когда То е то /о(то) имеет производную класса Н, так как (то) = onst, а множители а — я(Тр) п — 6(tq) обращаются в нуль. [c.374] функция F (To) удовлетворяет условию Я везде на Ь, включая точки оси симметрии, но исключая узлы, в окрестности которых она имеет представление (39.15). [c.375] Как установлено в п. 2, производная (т), а следовательно, и Р х) принадлежат классу Я. Требуется убедиться, что способ получения уравнения (39.1) остается корректным и в даннод случае. Для этого достаточно показать, что функция (/ + t) Ф [1) +4 , (/) непрерывно продолжима на все точки линии включая окрестности узлов. [c.375] Произведение +1 — Сд —Сд) ф, ( ) непрерывно про-должимо на все точки дуги 1 д, включающей Сд, но не содержащей других узлов. [c.376] Плотность последнего интеграла в (39.22) удовлетворяет условию Н на дуге 1 д, поэтому интеграл является функцией, непрерывно продолжимой на 1д. Таким образом, функция + t) Ф[ ( ) + Ч t) также непрерывно продолжима на 1 д. [c.376] Доказательство существования решения интегрального уравнения (39.1) опирается на теоремы единственности для задач теории упругости (см. 33). При этом требуется, чтобы компоненты перемещения и напряжения были непрерывны вплоть до контура Ь или, по крайней мере, не имели иных особенностей, кроме принадлежащих к интегрируемому типу. [c.376] В выражения напряжений (32.15) входят функции Ф ( ) и ( -1- г)Ф () + ( ), непрерывность которых следует показать при условии у(то) = О, так как при доказательстве теорем единственности предполагаются равными нулю внешние силы на Л1 и перемещения на Ла. [c.376] Продифференцируем обе части этого равенства по т при Im То =7 О, производя те же преобразования, что и при выводе (39.12). Учитывая (39.14), результат представим в форме, аналогичной (37.32). Отсюда вытекает, что производная Q (т ), а следовательно, и Q (Tq) принадлежат классу Н и имеют представления ввда (39.15). Этими же свойствами будет обладать / (То), когда точка То не принадлежит дугам, входящим в состав Ь . [c.377] Из полученных результатов вытекает непрерывная продолжимость функций ( ), Ф 1) и (г) на все точки линии Ь, за исключением окрестностей узлов. [c.378] Ф (о и( + оф (о+ ( ), показанной в начале данного пункта. Таким образом, теоремы единственноЬти решения, использованные в 33, будут справедливы и в нашем случае. [c.379] Вернуться к основной статье