ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приведение основных задач теории упругости к граничным задачам для обобщенных аналитических функций из "Пространственные задачи теории упругости " Непрерывность перемещений и напряжений обеспечивает непрерывность выражений (32.14)—(32.15), содержащих обобщенные аналитические функции. Поэтому задачи теории упругости сводятся к отысканию этих функций по некоторым граничным условиям. [c.301] В силу условия четности (27.18), которому подчинены значения функций Ф( ) и (1), здесь достаточно рассматривать лишь одну половину контура Ь, например, правую. [c.301] Функции Ф( ) и Ч ( ) имеют представления (32/22) и (32.22а), где постоянные и Bf заранее не известны и определяются при решении задачи. [c.302] Подставляя сюда (32.14), видим, что подынтегральная функция совпадает с граничным значением V t). На оси симметрии V t) = О, поэтому путь интегрирования можно дополнить отрезком I. Получившийся интеграл по замкнутому контуру преобразуем в двойной интеграл по области D -. [c.302] Предположим, что решение граничной задачи (33.1) неединственно, т. е. что одним и тем же перемещениям контурных точек соответствуют две системы обобщенных аналитических функций. Обозначим через Ф( ) и T (i) функции, соответствующие разности предполагаемых решений. Граничные значения этих функций, очевидно, удовлетворяют равенству (33.1) при нулевой правой части. Тогда из (33.3) вытекает, что / = 0. [c.303] В соответствии с теоремой единственности для обобщенных аналитических функций равенство (33.6а) справедливо везде в D, причем всюду w = и = 0. [c.303] Таким образом, задание перемещений на поверхности тела вполне определяет перемещения внутренних точек. Функции Ф( ) и W t) определяются с точностью до слагаемых вида (33.6)—(33.6а). Чтобы они были определены вполне, достаточно задать значение одной из зтих функций в какой-либо точке области D. Если ось симметрии пересекает тело и постоянная Ад в (32.22) положена равной нулю, то указанная точка должна лежать на оси симметрии. [c.303] Приведенные выше рассуждения справедливы ля конечных односвязных и многосвязных тел, а также для упругого пространства с полостями конечных размеров, если Ф (оо) = Ч , (оо) = Ф (оо) = О (тогда перемещения бесконечно удаленной точки равны нулю). [c.304] Отметим, что для реальных упругих тел О V - 1/2 тогда 1 С и 3. Однако в дальнейшем нам придется рассматривать граничную задачу с условием (33.1) для обобщенных аналитических функций также и при отрицательных к. Доказательство единственности решения остается корректным и в этом случае, если х . — 1. [c.304] Здесь верхний знак относится к случаю /с = О (внешний контур), а нижний — ко всем остальным к (внутренние контуры). Постоянные и различны на разных контурах. [c.305] Таким образом, постоянные. 4 могут быть определены заранее по известной величине равнодействующей нагрузки 2пЕ1, приложенной к к-ж полости. Постоянные Bf должны удовлетворять (га — т) условиям вида (33.11) и определяются одновременно с решением граничной задачи. [c.306] Величина б ,, может быть получена численным интегрированием и не превьппает 0,2 [135]. Поэтому К строго меньше единицы. [c.308] Отсюда вытекает, что система уравнений, имеющая те же коэффициенты, что и (33.12), но с заменой строк столбцами, является разрешимой (причем решение может быть найдено методом итераций). Определитель этой системы совпадает с определителем системы (33.12). Поэтому система (33.12) также разрешима. [c.308] Перейдем к случаю, когда контур пересекает ось г к т). За начальную точку в (33.8)—(33.9) будем принимать нижнюю точку пересечения контура с осью симметрии. Верхняя точка пересечения совпадает с концом полуконтура Линию разветвления каждой функции 0( , (/ т) будем проводить от точки (лежащей в этом случае на оси г) вверх по оси симметрии. Линии разветвления функций 0( , i ) и Е 1, tj) при т + 1 будем проводить так, чтобы они пересекали ось г внутри О на участке, расположенном выше контура Ьт — самого верхнего внутреннего контура из числа пересекающих ось г (рис. 7.1, а). [c.308] Устремляя То к ай(1 А т) и учитывая знак придем к ранее полученной формуле (33.10), которая, таким образом, справедлива для всех к (1 А и). [c.308] За tQ можно взять любую точку внутри контура Ь . [c.309] Задание усилий й(Т(,) и / й(Т(,) зквивалентно заданию внешних сил и р,., и граничное условие (33.9) может быть заменено равенствами (32.17). [c.310] В формуле (33.19) левая часть равна нулю, что возможно лишь в том случае, когда все деформации, стоящие в правой части, тождественно равны нулю в области D. Следовательно, все напряжения, а также перемещение и равны нулю. [c.311] Сд = С о — 0. Тогда 7 =0, 71+72 = О, и можно еще зафиксировать значение вещественной части Ф( ) или Ч (г) в какой-либо точке области. [c.312] Когда область В не пересекает оси симметрии, то иногда будем полагать Сд = О, не определяя Сд. Тогда можно по произволу задать значения как вещественной, так и мнимой частей одной из функций Ф( ) или (1) в какой-либо точке. [c.312] Вернуться к основной статье