ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенная формула Коши. Обобщенное ядро Коши из "Пространственные задачи теории упругости " Потребуем, кроме того, чтобы функции Uq и Fq удовлетворяли уравнениям (27.13) по переменной т, т. е. [c.264] Положим, что F(t) является граничным значением какой-либо обобщенной аналитической функции Ф( ), которая регулярна в области D, ограниченной контуром L, и непрерывно продолжима на L. Тогда в силу обобщенной теоремы Коши W t) = О, когда t (при г = Im г 0) лежит вне замкнутой области D L. [c.264] Будем предполагать, что порядок особенностей функций Уо и Ufx — И х — t) при i = т строго меньше единицы. Тогда при т — i О последний интеграл обращается в нуль, а предпоследний интеграл дает в пределе 2я Ф(г). [c.264] Эта формула останется справедливой и тогда, когда /) многосвязна. В этом случае Ь будет представлять собой совокупность простых замкнутых контуров. [c.265] Изменение знака интеграла связано с тем, что когда точка т проходит контур Ь в положительном направлении, точка Т1 проходит контур Ь в отрицательном направлении. [c.265] Приведем эти последние представления и используем их для исследования обобщенного ядра Коши. [c.266] В этом случае функция со ограничена при i = т = т. [c.268] Пусть некоторая функция ф(А ), где к определено формулой (30.18), удовлетворяет условию 1Г([а). Принимая во внимание (30.23), легко показать, что функции т — ф(А ) и т— т — т ф(А ) при Я [х удовлетворяют условию ([х) по переменным и т. [c.269] Отсюда видно, что дифференцирование IV по г, г и х сводится к дифференцированию функции т) по и т под знаком интеграла. Легко убедиться в существовании частных производных любого порядка от по 2, г, х. Порядок особенностей производных в точках т = t и т = г при каждом дифференцировании повышается на единицу. При г Ф t и г Ф t эти производные непрерывны везде, включая точки оси симметрии. Тоже самое относится и к дифференцированию по г/. Однако производная по г/ будет иметь скачок при переходе т через ось симметрии вследствие необходимости дифференцировать т — т . [c.271] Пусть 1т г-1т X 0. Поскольку ш(х, х) = 1, а производная. по дуге в силу (30.38) удовлетворяет условию Н( 1о С 1) по обеим переменным, то (см. [94], 7) функция К , х) будет удовлетворять тому же условию. [c.274] В силу равенств (30.20) функции РУ, г/д, Ко обращаются в нуль при 1т т = 0. Поэтому интеграл по участку I исчезает, а формулы (30.4) и (30.8) сохраняют свой прежний вид, причем контур Ь является замкнутым, а в составе и могут быть разомкнутые дуги, опирающиеся на ось г. [c.275] 4 мы установили существование частных производных любого порядка от функции W t, т) по переменным гиг. Отсюда и из формулы (30.8) вытекает, что регулярная ъ В ж непрерывная ъ В I функция Ф( ) обладает непрерывными частными производными любого порядка везде в В, включая точки оси симметрии. [c.275] До сих пор мы считали область В конечной. Рассмо г-рим случай, когда В — бесконечная область, состоящая из всей плоскости с конечными вырезами, Ь — ее граница, а регулярная в В функция Ф( ) исчезает на бесконечности. [c.275] В заключение приведем некоторые формулы, вытекающие из (30.17), а также из сопоставления (30.11) и (29.1). [c.276] Вернуться к основной статье