ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аналоги комплексного логарифма. Их производные и интегралы из "Пространственные задачи теории упругости " Введем цилиндрические координаты 2, г, 0 и обозначим через В , В , В проекции В на соответствующие направления. [c.235] ЧТО пе противоречит (27.3). Эти соотношения имеют место в гидродинамике при потенциальном течении несжимаемой жидкости, если под В и В понимать соответственно аксиальную и радиальную составляющие скорости или если истолковать как потенциал скорости, а гВ — как функцию тока. Те же соотношения используются и в решении П. Ф. Папковича осесимметричной задачи теории упругости (см. [97]). [c.235] В нашем случае коэффициенты 2В = —2А = l/(i —t) суммируемы лишь в областях, не содержащих точек оси z. [c.236] Поэтому поведение функций Ф( 7) в общем случае области определения требует дополнительного исследования. Такое исследование для функций гФ было произведено И. И. Данилюком [62—64], который использовал их для решения осесимметричных задач теории поля. Многие вопросы рассматривались в работах [131—135] и др. Основные из полученных результатов излагаются ниже. [c.237] Отметим, что после разделения вещественной и мнимой частей уравнение (27.9) приводится к системе двух дифференциальных уравнений эллиптического типа, исследованию которых посвящена обширная литература (см., например, работы М. А. Лаврентьева, Б. Б. Шабата, Б. В. Боярского, А. В. Бицадзе, Л. Г. Михайлова, Г. Н. Положия и др.). [c.237] В дальнейщем, говоря об обобщ енных аналитических функциях, мы будем ил1еть в виду функции Ф( , Г), удовлетворяющие уравнению (27.8), ибо обобщенные аналитические функции других классов нам не потребуются. [c.237] Для сокращения записей мы обычно будем опускать второй аргумент 7 в символическом обозначении функции Ф, записывая просто Ф = Ф(0- В тех случаях, когда зто может вызвать недоразумения, мы будем давать дополнительные пояснения. [c.237] Отметим, что сумма или разность обобщенных аналитических функций и их произведение на вещественную постоянную также являются обобщенными аналитическими функциями, удовлетворяющими уравнению (27.8). [c.237] Однако умножение на мнимую постоянную выводит функцию из рассматриваемого здесь класса. [c.238] При наших предположениях относительно дифферен-цируемости функции Ф(г) производная Ф ( ) является непрерывной функцией. Если она к тому же и дифференцируема, то является обобщенной аналитической функцией, в чем легко убедиться, дифференцируя по 2 левую и правую части равенства (27.8). Ниже в 30 будет показано существование у регулярных функций производных любого порядка. [c.238] Эти условия совместно с (27.8) обеспечивают независимость интеграла (27.12) от пути интегрирования. [c.239] Когда функции Ф t), U t), V t) непрерывны вплоть до границы и области D, то за Г в (27.14) можно принимать эту границу. Последнее справедливо и в случае многосвязной области D, если под Г понимать совокупность замкнутых контуров, составляющих границу этой области. Направление обхода контуров должно быть таким, чтобы область D оставалась все время с одной стороны. [c.239] Разделяя в (27.15) вещественную и мнимую части, путем подстановки в (27.4) и (27.10) убедимся, что Ф ( ) является обобщенной аналитической функцией, причем ее производная типа (27.10) равна Ф(0 т- е. [c.240] Отметим, что справедлив аналог теоремы Морера если функция Ф( ) непрерывна в односвязной области D и интеграл вида (27.15) по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю, то Ф 1) является обобщенной аналитической функцией, регулярной в D. Доказательство такое же, как и в случае классических аналитических функций. [c.241] Из общих свойств решения эллиптических систем уравнений можно получить, что нули регулярной функции изолированы (см. [50]), и следовательно, справедлива теорема единственности в обычной формулировке. В частности, если 0(i), регулярная в D, обращается в нуль на некоторой дуге внутри D, то она то кдественно равна нулю везде в D. [c.241] Отсюда и из теоремы единственности следует, что если регулярная в Z) и непрерывная в D + ii функция на некоторой части границы U обращается в нуль, то эта функция равна нулю во всей области D. [c.241] Внешняя граница области В представляет собой замкнутый контур, пересекающий ось симметрии (рис.6.2, а), или два замкнутых контура Ь о (г 0) и (г 0), не имеющих общих точек с этой осью (рис. 6.3). [c.243] Обозначим через ( = 1, 2,. ., т) внутренние контуры, пересекающие ось 2. Мы будем их нумеровать в порядке расположения на оси 2, начиная с самого нижнего контура (рис. 6.2, а). Номер самого верхнего контура будет тп. Остальные внутренние контуры Ьд и Ьд (А = то 4- 1,. . ., п) попарно симметричны. [c.243] И Ь +1, а под 1т — между Ь . и LQ. Все контуры будем считать кусочно-гладкими, не имеющими общих точек. [c.244] Построенная таким образом функция Ф( ) удовлетворяет уравнению (27. ) как ъ В, так и в В . Функция, регулярная в области/), является регулярной и в области В . Мы будем говорить о регулярности в полной области В, если обобщенная аналитическая функция, регулярная в /) (и в В ), непрерывна в В. Последнее имеет значение для областей, пересекающих ось симметрии, так как участок I оси не входит в В или /) , но входит в состав В. Таким образом, по определению, для регулярности не требуется существования производной на оси симметрии. Но, как будет показано в 30, регулярная функция обладает непрерывными производными любого порядка везде ъ В, ъ том числе и на оси симметрии. [c.244] Вернуться к основной статье