ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Представление напряжений и перемещений контурными интегралами. Приведение осесимметричных граничных задач к интегральным уравнениях первого рода из "Пространственные задачи теории упругости " Функции ф(Р и х( ) являются периодическими с периодом, равным единице. Они голоморфны везде, кроме точек (/ = О, 1, 2.). [c.100] Легко видеть, что (г, г), а следовательно, перемещения и напряжения являются периодическими функциями по переменной г. При вычислении 1штеграла (12.5) можно воспользоваться разложением (12.2) и результатами 17 и представить Jкn в виде ряда по присоединенным сферическим функциям. [c.102] Ряд (12.7) — расходящийся. Однако его формальное дифференцирование приводит к равномерно сходящемуся ряду, что делает законными дальнейшие выкладки. [c.103] При заданных перемещениях достаточно доложить Я = = —и, а под понимать коэффициенты рядов (8.12). [c.104] Подстановка (12.10) в (12.11), а полученных выражений в (12.13) приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно с-. и й , которая является квазирегулярной при любом ро 0,5. Когда ро достаточно мало, то система будет вполне регулярной и может быть решена методом последовательных приближений. Как показали практические ресчеты, сходимость процесса итераций наблюдается и при больших ро, например при Ро = 0,48. Коэффициенты а и после решения системы определяются из (12.9). [c.104] Изложенное выше решение приведено в работе [571. [c.104] В качестве примера рассматривалось равномерное растяжение напряжениями ст = р пространства с полостями, свободными от нагрузок, а также пространства с периодической системой жестких включений при V = 0,3. [c.104] В табл. 2.2 для первой из рассматриваемых задач приводятся значения величин ст в точке р = Ро, в = я/2. Для второй яадачи приведены значения наибольших напряжений ст таи ординаты точек оси симметрии, в которых они возникают, а также напряжения о пол У полюсов включения. [c.104] ПОЛОСТЯМИ разных радиусов, центры которых расположены на оси симметрии. [c.105] Совместим центр нижней сферической полости с началом координат и примем за единицу расстояние между центрами обеих полостей. Их радиусы обозначим соответственно через ро и р1(р1 Ро 1). [c.105] В результате вновь получается бесконечная система уравнений того же типа, что и в предыдущем пункте. [c.106] Рассмотрим конечное односвязное тело вращения с внутренними полостями, очевидно, пересекающими ось симметрии. Меридиональное сечение тела занимает п + 1)-связную область О, граница которой Ь состоит из простых замкнутых гладких контуров (см. рис. 2.6). [c.106] С = О имеет место только тогда, когда линия разветвления радикала пересекает ось г между этими же точками. [c.109] Для перевода линии разветвления в требуемое положение достаточно произвести замены вида (13.9)—(13.10). [c.110] Компоненты плоского состояния определяются формулами (6.3), а компоненты осесимметричного состояния — формулами (6.8). Аналитические функции ф( ) и г з(Р в этих формулах одни и те же. В том случае, когда напряжения осесимметричного состояния равны нулю, напряжения плоского состояния также отсутствуют, и наоборот. То же самое относится и к перемещениям. [c.110] Для конечного тела вращения без полостей, контур меридионального сечения которого пересекается любым перпендикуляром к оси симметрии не более чем в двух точках, указанное соответствие установлено в п. 3 2. Для общего случая однрсвязных тел с полостями существование этого соответствия будет показано ниже, в 43. [c.110] Начнем со второй основной задачи, когда на поверхности тела заданы перемещения Шо и Ыо- Эти перемещения вполне определяют перемещения внутренних точек тела, а следовательно, и перемещения внутренних и граничных точек соответствующего цилиндра. [c.110] Равенство (13.16), связывающее /(о) с граничными значениями осесимметричных перемещений, можно рассматривать как интегральное уравнение, которое следует решать при условиях (13.2) и (13.15). [c.112] Из сказанного в начале настоящего пункта следует, что хотя бы одно решение этого уравнения существует. Действительно, в противном случае либо искомое осесимметричное состояние не имеет плоского аналога, либо соответствующее плоско-деформированное состояние не может бцть описано функциями (13.14). [c.112] Можно также показать, что указанное решение единственно при условии, что кривизна контура L и производные от функций Wf), щ удовлетворяют условию Н (Гёльдера) с показателем, большим 0,5. За недостатком места мы вынуждены опустить соответствующее доказательство. [c.112] Вернуться к основной статье