ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщение на случай трансверсально-изотропной и неоднородной среды. Действие сосредоточенной силы на полупространство с переменным но глубине модулем упругости из "Пространственные задачи теории упругости " Пусть с телом А связана неподвижная цилиндрическая система координат г, г, в, ас цилиндром В — прямоугольная система координат х, у, т], причем оси х и г обеих координатных систем совмещены. Ось т] будем направлять параллельно образующей цилиндра, тогда плоскость поперечного сечения цилиндра будет параллельной координатной плоскости ху. Угол ме кду плоскостью ху и начальной меридиональной плоскостью гу цилиндрической системы координат (т. е. плоскостью 0 = 0) обозначим через а. [c.15] Чтобы получить пространственное трехмерное напряженное состояние заданного тела, рассмотрим ряд цилиндров, различающихся направлением образующей, т. е. величиной угла со, формой поперечного сечения и напряженным состоянием (тоже двумерным, но для каждого цилиндра своим его можно считать функцией от (о). Последовательно представляя себе тело вырезанным из каждого такого цилиндра, будем иметь для одного и того же тела ряд напряженных состояний, суперпозиция которых дает суммарное состояние, являющееся трехмерным. Заметим, что при суммировании состояний можно вводить тот или иной множитель, зависящий только от со. [c.17] Формулы для напряжений, объемных сил и температур трехмерного состояния очевидны, я мы их приводить не будем. [c.18] Когда компоненты вспомогательных состояний от параметра (О непосредственно не зависят, причем цилиндры испытывают лишь плоскую деформацию (Тзсп у = 1,4 у = = лВ = 9п 1 = 0), то пространственное состояние, получающееся в результате наложений, будет осесимметричным, не зависящим от угла 0. [c.19] Если использовать прием смещения нагрузки по поверхности тела вращения, вырезанного из цилиндра, то в данном случае плоское состояние будет только одно, причем оно при смещении нагрузки остается неизменным, меняя лишь ориентацию в пространстве. [c.19] Формулы напряжений, объемных сил и температур мо-гут быть получены аналогичным путем. [c.22] Все зти формулы можно было бы получить и непосредственно из представлений (2.3) (см. конец п. 1). [c.22] Отметим, что при вычислении компонентов пространственного состояния в какой-либо точке M z, г) по формулам вида (2.12) используются значения компонентов вспомогательных двумерных состояний в точках, расно-ложенных вдоль отрезка прямой, концами которого являются М х == Z, у г) ъ М х = Z, у = —г), так как интегрирование в (2.12) производится вдоль этого отрезка (см. рис. 1.6, где точки М и М совмещены). [c.22] По-видимому, для возможности воспроизведения произвольной нагрузки на поверхности тела необходимо, чтобы в процессе наложений, описанных в п. 1, все ле-менты поверхности тела ноочеред-ио совмещались с боковой поверхностью вспомогательных цилиндров. Действительно, если в какой-либо точке поверхности заданного тела приложена сосредоточенная сила, то такая точка не может быть внутренней точкой всех цилиндров, потому что нагружением поверхности цилиндра невозможно создать сосредоточенную силу внутри него. [c.23] В частном случае тела вращения любая прямая, проведенная через ось симметрии перпендикулярно к ней, должна пересекать поверхность тела не более чем в двух симметричных точках, а поперечное сечение цилиндра должно совпадать с меридиональным сечением тела. [c.23] При выполнении этих условий для тел вращения удается показать полноту представлений (2.3) путем исполь-.чования разлон ений (2.5) и (2.6) компонентов пространственного и вспомогательных состояний. [c.23] При отрицательных значениях у следует пользоваться соотношениями (2.16). [c.26] Интегрирование в (2.22), (2.23) производится по перпендикуляру к оси симметрии г, проходящему через точку с координатами х, у, с чем и связано ограничение, наложенное в начале этого пункта па контур меридионального сечения тела. [c.26] В следующих главах представления (2.3) будут использованы для решения пространственных задач при помощи функций комплексного переменного. Эти решения применимы для значительно более широкого класса тел, чем тот, который был рассмотрен выше. [c.27] В этом случае оказывается более простым выразить компоненты вспомогательных состояний через компоненты пространственного напряженного состояния, а не наоборот, как это было сделано в п. 1 2. Правда, при этом возникает проблема обращения найденных зависимостей, однако она может быть разрешена для определенного класса областей. [c.27] Сместим полученные нагрузки, не изменяя их величины и направления, по поверхности цилиндра на величину вдоль образующей (на рис. 1.7, б эпюра смещенных нагрузок показана пунктиром). Напряженное состояние не изменится, оно лишь перейдет на новые точки, отстоящие от первоначальных на расстоянии %. Все сведется к параллельному переносу прямоугольной системы координат. [c.29] Будем считать полученное состояние новым и наложим его на старое состояние. Меняя величину К, будем получать все новые состояния, которые также будем добавлять к предыдущим. [c.29] Приведенные выше рассуждения пригодны и в случае нескольких внутренних полостей (рис. 1.8), но нужно учесть, что цилиндрических полостей также будет несколько. При разных углах (О форма поперечного сечения и даже количество этих полостей могут быть различными (когда проекции двух полостей на плоскость ху совпадают полностью или частично). [c.30] В случае осесимметричной деформации все первоначальные полости имеют форму тел вращения и их оси совпадают с осью г. Вспомогательное состояние возникает в упругом пространстве с цилиндрическими полостями, плоскость симметрии которых совпадает с плоскостью а т1(рис. i.5,a и 1.7). Компоненты вспомогательных состояний не бу-. дут вависеть от параметра со, так как компоненты осесимметричного состояния не зависят от 0. Таким образом, все вспомогательные состояния совпадают между собой, и достаточно рассматривать единственное вспомогательное состояние, вычисляемое при произвольном значении со, например при со = 0. [c.30] Таким образом, функция uj(a , у, ш) разлагается в тригонометрический ряд такого же вида, как и lij ii (ж, г/, (о) в п. 2 2. Однако коэффициенты рядов (2.5) и (3.3) не совпадают друг с другом, так как получены при помощи разных наложений. [c.31] Вернуться к основной статье