ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об устойчивости движения спутника из "Теория движения искусственных спутников земли " Формулы (4.5.10)—(4.5.13) и (4.5.15), (4.5.17) позволяют установить связь между элементами А , В и элементами а, е, г, со , й(,, Мд. Ранее было показано, что эта система элементов является канонической. [c.121] Эти элементы, как легко проверить, являются также каноническими. [c.122] 12 мы проведем аналогию между элементами эйлерова промежуточного движения и соответствующими элементами невозмущенного кеплерова движения. [c.122] Рассмотрим сначала промежуточное движение. В 2.7 мы видели, что промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами и двумя гиперболоидами. Орбита спутника, как легко показать, касается одного эллипсоида, затем гиперболоида, второго эллипсоида и второго гиперболоида и т. д. Согласно [2] движение спутника будет условно-периодическим с тремя периодами. Введем эти периоды. [c.122] что все три периода изменяются от оборота к обороту, подвергаясь периодическим (и, вообще говоря, малым) колебаниям. Однако если пренебречь этими малыми колебаниями, то мы получим некоторые средние значения для этих периодов, которые и будут характеризовать движение спутника на больших промежутках времени. [c.123] Отсюда следует, что средние движения и соответственно три периода отличаются друг от друга величинами порядка 8 . [c.123] Очевидно, что %, щ и представляют собой средние скорости изменения переменных г ), 0 и ii , а периоды Гц Гг и Гз показывают, за какое время эти переменные изменяются (в среднем) на 2п. [c.123] Величины щ, Й2 и Пз в известной степени определяют характер движения спутника. Если щ, Пд несоизмеримы, то орбита спутника не будет замкнутой кривой. [c.123] В этом случае какую бы точку тороидального пространства, где происходит движение спутника, мы ни взяли, всегда найдется такой момент времени, когда спутник будет сколь угодно близко от этой точки. Другими словами, траектория спутника будет всюду плотно заполнять область возможности движения. Картина изменяется, если отношения этих постоянных являются рациональными числами. В этом случае орбита спутника будет замкнутой кривой, а его движение — периодическим. Два условия периодичности будут связывать три элемента, а, е, г, от которых зависят постоянные щ, п , Пд. Один из этих элементов можно выбрать произвольно, а два других будут принимать счетное множество значений. Три угловых элемента 2о1 будут произвольными. [c.124] Таким образом, уравнения промежуточного движения допускают оо периодических движений, период которых в обш,ем случае является весьма большой величиной. [c.124] Будем рассматривать такую область пространства, чтобы функция В имела порядок ). Тогда отношения частот п ж п к п будут иметь порядок е . [c.125] Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что А =т = О, дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех начальных условий из рассматриваемой области, за исключением, быть может, некоторого множества малой вместе с меры, элементы L, G, Н можно представить сходяш,имися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами (см. 2.7), будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться вековым образом ). [c.125] Заметим, однако, что возмуш,ения от сопротивления атмосферы, как мы увидим в гл. VIII, приведут к тому. [c.125] Вернуться к основной статье