ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анизотропная ферми-жидкость из "Основы теории металлов " До сих пор мы рассматривали поведение одного электрона в усредненном поле решетки и других электронов. Теперь мы рассмотрим реальную систему взаимодействующих электронов, или электронную жидкость. Поведение такой системы может быть понято на основе о ей концепции Ландау (1941) [2] об энергетических спектрах конденсированных квантовых систем и его же теории ферми-жидкости. [c.21] Периоды решетки есть а . Индекс / означает номер атома в элементарной ячейке п. Индекс а соответствует проекции вектора смещения и, Ап %ч — коэффициенты разложения. Выражение (2.1) представляет собой не что иное, как энергию системы связанных осцилляторов. Как известно, путем линейного преобразования координат осцилляторов, а в данном случае векторов квадратичную форму (2.1) можно диагонализовать, плсле чего мы получим систему невзаимодействующих линейных осцилляторов. Энергия в этом случае будет представлять собой сумму энергий отдельных осцилляторов. [c.22] Первый член соответствует наименьшему значению энергии и описывает основное состояние системы. Эго энергия так называемых нулевых колебаний. То обстоятельство, что атомы кристаллической решетки даже в основном состоянии должны колебаться, связано с квантовым принципом неопределенности. Согласно этому принципу частица не может покоиться в положении равновесия, так как при этом она имела бы одновременно определенные координату и импульс. [c.23] Концепция фононов годится до тех пор, пока амплитуда колебаний мала по сравнению с периодом решетки. В противном случае надо учитывать следующие члены разложения потенциальной энергии и по степеням смещений, и полная энергия уже не будет выражаться формулой (2.3). Однако это имеет место лишь вблизи точки плавления. [c.23] Электроны обладают спином %/2. Ввиду этого электронная жидкость является так называемой ферми-жидкостью. Каковы же свойства квазичастиц у такой жидкости Согласно гипотезе Ландау (1956) [3], энергетический спектр такой жидкости очень похож на спектр идеального ферми-газа. Справедливость этой гипотезы была впоследствии строго доказана. Мы не приводим этого доказательства, ибо по своей сложности оно далеко превышает уровень этой книги ). [c.24] Константа т с размерностью массы называется эффективной массой ). [c.25] Закон сохранения импульса представлен графически на рис. 2.3. Плоскости (рх, р ) и р[, р ), вообще говоря, не совпадают, и на рис. 2.3 они просто совмещены с помощью поворота. [c.26] Интегрирование идет лишь по р и р[, так как р з определено законом сохранения импульса. Угол между векторами р и р 2 фактически задан законом сохранения энергии. Интегрирование по этому углу устраняет б-функцию. После этого остается лишь интегрирование по модулю векторов р , р . [c.26] Полная формула для у может быть получена из соображения размерности. Она должна быть пропорциональна квадрату константы взаимодействия и, согласно приведенному выше расчету, величине (р—р у. После этого надо ввести еще множитель, составленный из Ро, т я % таким образом, чтобы результат имел размерность энергии. [c.27] Если иметь в виду равновесную ферми-жидкость при ТфО, то в ней квазичастицы всегда имеют энергии Т. Затухание у будет порядка Т /ц. Отсюда следует, что описание жидкости с помощью квазичастиц будет справедливо, лишь пока Т ц,. [c.27] Это условие показывает, что картина квазичастиц в действительности применима к твердым металлам при всех температурах, ибо То, во всяком случае, заметно выше точки плавления. [c.28] При этом надо помнить, что античастицы имеют заряд, противоположный заряду частиц . Однако можно ввести и другой, более привычный образ. Представим себе идеальный ферми-газ плотностью ЛГ/К, состоящий из частиц с массой т. Спектр квазичастиц такого газа тот же самый, что и у ферми-жидкости. Поэтому такой идеальный газ может описывать свойства реальной взаимодействующей системы. Однако надо иметь в виду, что те свойства газовой модели, которые зависят от частиц, расположенных далеко от уровня Ферми, не соответствуют реальной ферми-жидкости. В дальнейшем мы, в зависимости от удобства, будем пользоваться обеими картинами газовой моделью или квазичастицами со спектром (2.6 ). [c.28] Все результаты, изложенные выше, относятся к изотропной ферми-жидкости. Для того чтобы понять, что представляют собой электронные спектры металлов, выключим сначала взаимодействие электронов, или, точнее, рассмотрим газ из невзаимодействующих электронов, находящихся в усредненном периодическом поле. Состояния одной частицы в таком поле были рассмотрены в гл. I. Там было продемонстрировано, что энергетические уровни образуют зоны, разделенные запрещенными участками (энергетическими щелями). Каждая зона имеет 2ЛГ состояний, где N — число элементарных ячеек в образце. [c.28] Если имеется много невзаимодействующих между собой частиц, то они как-то распределяются между этими состояниями. Прн Т = 0 (а в металлах практически при всех температурах ниже температуры плавления) будут заняты все нижние состояния вплоть до некоторого максимального уровня (энергии Ферми), а все верхние состояния будут пустыми. При этом имеются две возможности. [c.28] Малое электрическое поле не может произвести такое изменение энергии, а поэтому рассмотренное вещество будет не металлом, а диэлектриком. [c.29] Легко понять, что, в случае когда число электронов, приходящихся на одну элементарную ячейку, нечетно, по крайней мере одна из зон должна быть частично заполнена (напомним, что каждая зона содержит 2N состояний). Однако и в том случае, когда число электронов, приходящихся на одну ячейку, четно, вещество может быть металлом, так как в реальном трехмерном случае зоны могут перекрываться. При этом будет несколько частично заполненных зон. [c.29] Уровень Ферми для газа в решетке задается условием 8(/ ) = М- пространстве импульсов это уравнение описывает поверхность, которая называется поверхностью Ферми. Снимет-рия этой поверхности определяется симметрией кристалла. Здесь-тоже можно определить квазичастицы типа частиц с импульсом вне поверхности Ферми и квазичастицы типа античастиц с импульсами внутри этой поверхности. [c.29] Ферми-поверхность в общем случае может иметь весьма сложный вид. Два примера приведены на рис. 2.4 и 2.5. [c.29] Если р фО, то в этом выражении надо заменить все р, на Р, — Рщ1- Однако в этом случае есть несколько эквивалентных минимумов энергии, и соответствующие векторы р образуют звездр, имеющую симметрию кристалла. [c.30] Очень похоже обстоит дело в случае почти заполненной зоны. Поскольку заполненная зона не участвует в электрическом токе, то можно считать, что ток осуществляется дырками , т. е. пустыми местами, остающимися в зоне. Очевидно, они будут сконцентрированы вблизи максимумов энергии. [c.30] Вернуться к основной статье