ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вершинные части. Многочастичные функции Грина из "Методы КТП в физике твёрдого тела " Вид правой части зависит от конкретного взаимодействия, поэтому мы перейдем к рассмотрению отдельных частных случаев. [c.126] Вычисление этого выражения может быть произведено в полной аналогии с вычислением гриновской функции. Оператор 5 (со) в числителе разлагается в ряд по степеням Применяя затем теорему Вика, можно представить каждый член этого ряда в виде суммы членов, содержащих произведения функций Каждому из таких членов может быть сопоставлена диаграмма Файнмана. В отличие от диаграмм для гриновской функции все эти диаграммы будут обладать четырьмя внешними точками. Нетрудно увидеть, что, так же. как и раньше, достаточно учитывать только связанные диаграммы. т, е. такие, в которых нет частей, не связанных ни с одним из внешних концов в то же время следует отбросить множитель (5 (со)) в знаменателе (10.13). Остается справедливым и другое правило, а именно, все выражения зависят от порядка диаграммы только посредством множителей X . Это дает возможность оперировать с частями диаграммы и производить частичные суммирования. [c.127] Нетрудно видеть, что все более сложные диаграммы этой группы получаются путем добавления собственно энергетических частей к О о -линиям, т. е. путем замены тонких 0 )-линий на жирные 0-линии. [c.128] Другая группа представляет собой совокупность всех диаграмм, не распадающихся на отдельные части. [c.128] Ввиду однородности пространства величины Г и О зависят только от трех разностей координат. Поэтому фурье-компоненты этих величин удобно определить так же. как и в случае Г . Например. [c.129] МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ 7 =0 [гЛ. [c.130] Вычисление Г может быть осуществлено путем суммирования диаграмм. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 23, а также на рис. 29, а, б, в. Уже из того, что диаграммы для Г можно рассматривать как некоторую часть диаграмм для О-функции, следует, что правила сопоставления каждой диаграмме соответствующих выражений остаются теми же, что и при вычислении О. В этом нетрудно убедиться и непосредственным образом, если воспользоваться аналитическим определением Г и действовать дальше в полной аналогии с методами предыдущего параграфа. [c.130] Соотношение между фурье-компонентами Г и Р имеет вид Р(р, p-k] k) = -G p)Q p—k)D k)T p, p — k-, k). [c.131] Выражая последний член уравнения (10.11) для электрон-фононного взаимодействия с помощью формул (10.18) и (10.19), мы находим уравнение для О в координатном пространстве. Производя фурье-преобразование этого уравнения с помощью формулы (10.20), мы получаем уравнение Дайсона (10.7). [c.132] Все изложенное о вычислении вершинной части для двухчастичного взаимодействия остается справедливым и в данном случае. Для вычисления Г надо изобразить все компактные диаграммы и сопоставить им аналитические формулы по тем же правилам, что и при вычислении О. При этом каждая сплошная линия будет означать полную 0-функцию, каждая пунктирная— полную О-функцию. Примеры приведены на рис. 31. [c.132] Остановимся на смысле функций 01 и Р, введенных нами в процессе вывода уравнений Дайсона. Эти функции, а также 31 другие средние от хронологи-зированных произведений большего числа операторов поля называют многочастичными функциями Грина. Сами функции ОиО называются поэтому одночастичными функциями Грина. Многочастичные функции Грина, так же как и одночастичные, определяют макроскопические свойства систем. В частности, двухчастичная функция Грина 0 определяет поведение системы электронов во внешнем электромагнитном поле (см. гл. VI). Ввиду того, что эти функции зависят от большого числа аргументов, анализ их аналитических свойств представляет значительные трудности. Проще обстоит дело, когда некоторые аргументы считаются равными. Например, если в функции 0 считать х, = х , Х2= х , то аналитические свойства фурье-преобра-зования этой функции по переменной х, — 2 те же, что и у гриновской функции фононов 0(ш, к). Так как обычно представляют интерес именно такие частные случаи, то прощ определять аналитические свойства соответствующих конкретных гриновских функций, не прибегая к изучению общего случая. [c.132] О (р) И О (к). Однако, кроме этих полюсов, могут появиться новые, соответствующие другим ветвям спектра возбуждений. Мы не будем заниматься общим анализом этого вопроса. В гл. IV, 19 рассмотрен конкретный пример найдено уравнение для полюсов двухчастичной гриновской функции ферми-системы и показано, что эти полюсы определяют бозевские ветви спектра возбуждений. [c.133] Для вычисления многочастичных гриновских функций в принципе можно было бы написать уравнения, аналогичные уравнениям Дайсона, которые связывают эти функции с функциями следующих порядков. Однако на практике такая процедура не дает каких-либо полезных результатов и проще непосредственно суммировать диаграммы. При этом часто оказывается, что определенная последовательность диаграмм является наиболее существенной. Обычно в таких случаях суммирование диаграмм не представляет большого труда. [c.133] Подчеркнем здесь еще раз простую связь между функциями 04 и Р и вершинными частями. [c.133] Вернуться к основной статье