ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве из "Теория бифуркаций " Построим сначала вспомогательное семейство векторных полей в прямом произведении IXD отрезка 2 на (п—1)-мерный шар х 1, x6R . Рассмотрим гладкое векторное поле в Z), равное нулю в некоторой окрестности границы D, имеющее гладкий инвариантный (п—2)-мерный тор с положительным показателем притяжения поле v на торе диффео-морфно постоянному полю, задающему условно периодическую обмотку. Отсюда следует, что показатель сближения траекторий поля на торе равен нулю и все траектории на торе — неблуждающие. [c.154] Очевидно, поле гладко и гладко зависит от е. При е 0 поле Ve задает систему Морса—Смейла, поскольку поле w этим свойством обладает, и преобразования монодромии дна трубки В на ее крышку у полей и w совпадают. При е О поле имеет бесконечное множество неблуждающих траекторий, заполняющих четыре тора. Семейство d построено. [c.155] Исследуем теперь окрестность семейства d в функциональном пространстве. -В силу структурной устойчивости систем Морса—Смейла каждое из полей при е 0 имеет окрестность, состоящую из систем Морса—Смейла. При е 0 каждое из полей Уе имеет окрестность, состоящую из полей с инвариантным (п—2)-мерным тором. Это следует из теоремы Феничеля, поскольку показатель притяжения к инвариантному тору Ис при 8 0 положителен, а показатель сближения траекторий на торе равен нулю. Теорема доказана. [c.155] Вернуться к основной статье