ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации систем с двумя гомоклииическими кривыми седла из "Теория бифуркаций " Модификация этой теоремы для однопараметрических семейств диффеоморфизмов приведена в [177]. [c.148] Естественно предположить, что невоспроизводимость вольт-амперной характеристики объясняется наличием бесконечного предельного множества (и, в частности, счетного множества устойчивых предельных циклов с различными областями существования по параметру р), содержащего траектории с разными числами вращения фазы . [c.148] Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149] Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149] Для любого однопараметрического семейства -гладких, r l, векторных полей на Т , непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра. [c.149] Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150] Очевидно, векторное поле v может лежать на границе множества систем Морса—Смейла (в замкнутом шаре большого радиуса в R ). [c.150] Теорема. В сколь угодно малой окрестности векторного поля V (в пространстве С -гладких векторных полей на R ) существуют векторные поля, обладающие нетривиальными (т. е. отличными от особых точек и предельных циклов) устойчивыми по Пуассону траекториями. [c.150] Зафиксируем окрестность точки v и обозначим через множество векторных полей, лежащих в ней и обладающих бесконечным неблуждающим множеством (нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями). [c.150] Являются ли гладкими бифуркационные поверхности, отвечающие системам с нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями, или хотя бы соответствующие бифуркационные кривые в общих двупараметрических семействах — неизвестно. [c.151] Заметим, что бифуркационные поверхности , отвечающие наличию бесконечного множества неблуждающих траекторий, недостижимы во всех точках, кроме V. [c.151] Вернуться к основной статье