ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Седло по гиперболическим переменным одна гомоклииическая траектория из "Теория бифуркаций " Кроме этого примера, других результатов по нелокальным бифуркациям на бутылке Клейна нет. Тем не менее, возможность полного описания бифуркаций в типичных однопараметрических семействах (теорема типа п. 2.2) кажется более осуществимой, чем на других поверхностях, поскольку на бутылке Клейна не могут существовать нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории [16], [172]. [c.106] Пример 1. Любая точка седловой связки (включая оба седла) несет бифуркацию, даже если добавить к ней еще любые другие точки. В системе с двумя седловыми связками точка на связке (внутренняя) несет бифуркацию лишь вместе с точкой на другой связке. [c.107] П р и м е р 2. В системе с одной седловой связкой (стандартно бифурцирующей) носитель совпадает с седловой связкой, включая концы — седла. [c.107] Пример 3. Все деформации векторных полей с простой седловой связкой эквивалентны друг другу, независимо от числа грубых положений равновесия и циклов в системе в целом. [c.107] Слабую эквивалентность здесь нельзя заменить обычной см. пример 4. [c.108] Доказательство или опровержение приведенных утверждений, безусловно, необходимый этап при рассмотрении нелокальных бифуркаций в типичных/-параметрических семействах. Пока известно мало даже для семейств, состоящих из грубых и ква-зиобщих векторных полей, пункты 3) и 4) (а только они для подобных семейств нетривиальны) не доказаны. Насколько нам известно, при 1=2 рассматривались лишь две нелокальные бифуркации. [c.108] Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108] Бифуркации, описанные в этом параграфе, происходят в однопараметрических семействах общего положения и приводят к возникновению грубого предельного цикла или нетривиального гиперболического множества. [c.111] Тогда все некритические поля семейства, достаточно близкие к критическому, либо имеют две особые точки, близкие к О (когда параметр лежит по одну сторону от нуля), либо имеют устойчивый (или вполне неустойчивый) предельный цикл, когда параметр лежит по другую сторону от нуля. Этот цику1 стремится к ГиО при стремлении параметра к нулю. [c.111] Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование rnW =0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в. край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [c.111] Предыдущий результат можно сформулировать на языке пространств векторных полей. [c.111] Ч Цикл называется вполне неустойчивым, если ов становится устойчивым при обращении времени. [c.111] Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112] Случаи р=1 и р 1 резко отличаются друг от друга. [c.112] Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112] Требования общности положения на поле Vo и на семейство те же, что в п. 3.1 и, кроме того, требуется, чтобы устойчивое и неустойчивое множества пересекались трансверсально. [c.112] Вернуться к основной статье