ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Негиперболнческие особые точки из "Теория бифуркаций " Пусть У (г), e6R , — -параметрическое непрерывное семейство векторных полей. [c.87] Определение. Значения е, для которых о(е)б5 (Л1), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем w(e), при переходе через бифуркационное значение г, называется бифуркацией. [c.87] Аналогично определяются бифуркации для динамических систем с дискретным временем — диффеоморфизмов. [c.87] Напомним (см. [11], [166]), что первоначальное определение структурной устойчивости отличается от определения грубости отсутствием требования близости к тождественному гомеоморфизма, осуществляющего топологическую эквивалентность исходной и возмущенной систем. Открытость множества векторных полей, порождающих структурно устойчивые системы, следует непосредственно из определения, в отличие от грубых. С другой стороны, нам не известны примеры структурно устойчивых систем, не являющихся грубыми, поэтому в настоящее время структурная устойчивость часто используется как синоним грубости , т. е. оба термина подразумевают близость сопрягающего гомеоморфизма к тождественному. [c.87] Заметим, что эти определения относятся, в первую очередь, к постановке задачи локальные бифуркации могут сопровождаться полулокальными, а полулокальные — глобальными. [c.88] Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет npw е = бо полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при е 8о, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei 6o, Ei- eo. Локальная бифуркация здесь — слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=Ео и его исчезновение при е ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций — замыкания сепаратрис при e=Ei. [c.88] Перечислим вырождения коразмерности 1, связанные с нарушением требований на системы Морса—Смейла. [c.88] Определения. Устойчивым (неустойчивым) множеством негиперболической особой точки векторного поля называется объединение всех положительных (отрицательных) полутраек-торий поля, стремящихся к этой точке. [c.89] Аналогично определяются устойчивое и неустойчивое множества негиперболического цикла и негиперболической неподвижной точки диффеоморфизма. [c.89] Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89] Устойчивое, неустойчирое и центральное многообразие точки и цикла определены в [1621 и обозначаются W и W (или Wb, Wb-, WL Wl Wl где О и I-соответствующие точка и цикл). Устойчивое и неустойчивое множества точки и цикла обозначаются 5 и (или SS, So, S[, SI, где О и Z —соответствующие точка и цикл). [c.89] Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89] Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид ах +. ..) djdx, а О. Если эта особая точка — узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 8 , S диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества — ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О — седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке dim S = dim +1, dim S = dim W +l. [c.89] Замечание. В классе векторных полей, имеющих особую точку с парой чисто мнимых собственных значений, поля общего положения не имеют гомоклинической траектории особой точки. [c.90] Вернуться к основной статье