ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функциональные инварианты топологической классификации локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари) из "Теория бифуркаций " Руссари не описывает множества всех семейств диффеоморфизмов окружности, возникающих как функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов прямой, однако указывает, что это множество континуально. [c.77] При еег диффеоморфизму соответствует функциональный инвариант — класс эквивалентных диффеоморфизмов окружности на себя. А именно, росток диффеоморфизма ft в каждой из двух его полуустойчивых неподвижных точек порождается ростком векторного поля росток диффеоморфизма является сдвигом за единичное время по фазовым кривым поля. Росток каждого из порождающих полей однозначно определен диффеоморфизмом /е- Оба поля разносятся с помощью ft на весь интервал между неподвижными точками диффеоморфизма, п на всём этом интервале порождают fe. Тем самым, построены два векторных поля на интервале, перестановочные с диффеоморфизмом интервала на себя без неподвижных точек. Такая пара полей порождает диффеоморфизм окружности на себя, определенный с точностью до сдвига в образе и в прообразе, как это описано в п. 5.8. Два диффеоморфизма окружности эквивалентны, если они имеют вид причем ф( - -а) =ij5( )+fe для некоторых а и Ь. Семейство таких классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности, построенных для отображений при ебГ, и образует функциональный инвариант деформации /e ee(R3, 0) . [c.78] Докажем теперь, что функциональные инварианты эквивалентных деформаций совпадают. Если два семейства эквивалентны, то поверхности (ласточкины хвосты) в базе, соответствующие диффеоморфизмам обоих семейств, имеющим негиперболические неподвижные точки, совпадают. Пусть ft и gt — диффеоморфизмы двух семейств, соответствующие значению параметра на линии самопересечения Г ласточкиного хвоста. Существует богатое множество гомеоморфизмов, сопрягающих и gt, большинство из них не переводит друг в друга соответствующие порождающие поля. [c.78] Замечания. 1. Теорема о ж,есткости навязывает некоторую гладкость сопрягающему отображению, которое по определению было лишь гомеоморфизмом. Поэтому для отображений, осуществляющих лишь топологическую, а не гладкую эквивалентность семейств диффеоморфизмов, удалось провести те же построения, что и для гладких отображений в п. 5.9. [c.78] Следствия. 1. Топологическая классификация трехпараметрических деформаций векторных полей с четырехкратным предельным циклом (вырождение коразмерности три) имеет функциональные модули. [c.79] Чтобы в этом убедиться, нужно применить теорему Русса-ри к соответствующему семейству преобразований монодромии. [c.79] Действительно, соответствующее семейство преобразованпй монодромии имеет двупараметрическое подсемейство, состоящее из диффеоморфизмов с двумя двукратными неподвижными точками. [c.79] Поэтому при изучении многопараметрических деформаций векторных полей на плоскости целесообразно ослабить отношение эквивалентности до слабой эквивалентности. [c.79] Вернуться к основной статье