ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные деформации уравнений трудного типа в задаче о двух мнимых парах (по Жолондеку) из "Теория бифуркаций " Системы (10) встречаются также в экологии (модели типа Лотка—Вольтерра), где ограничение х О, у О вызвано реальным смыслом фазовых переменных (величины популяций хищника и жертвы). [c.31] Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом х означает квадрат модуля первой, а у — второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х в. у, поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [c.31] Возникающая задача о векторных полях в четверти плоскости формально эквивалентна задаче о векторных полях на плоскости, переходящих в себя при отражении плоскости в каждой из осей. Действительно, обозначая через х я у квадраты координат, мы приведем соответствующее полю уравнение к виду (10). [c.31] Заменой х, уу- у, х) можно добиться того, что в системе (И ) удет Ь с того же неравенства в системе (11 -) можно добиться той же заменой и обращением времени. [c.33] Положим А—Ьс—1. Системы (П ), Для которых ЬсА=0, и системы (11 ), для которых Ь Ь— )с с—1)=0, — исключительные они не встречаются в типичных двупараметрических семействах уравнений вида (10). Неисключительные системы (11+) и те неисключительные системы (11 ), для которых А 0, называются системами легкого типа остальные неисключительные системы (11 ) —трудного, типа. [c.33] Для каждого неисключительного набора (ft, с), принадле жащего одной из трудных компонент, существуют сколь угод но малые значения параметра, при которых уравнение (12 ) имеет первый интеграл и целое семейство циклов. Такие уравнения не могут встречаться в типичных конечно параметриче ских семействах. [c.35] Область пространства (х, у, е), в которой существуют предельные циклы главного локального семейства (13), подходит к нулю узким языком. Замена времени, координат и параметров превращает трудное главное семейство , рассматриваемое в этой области, в малое возмущение интегрируемого уравнения. Выпишем эту замену и это возмущение при Ь 0, с 0, А 0. В этом случае интересующий нас язык на плоскости параметров расположен в полуплоскости ei 0. [c.37] Функции Л и /2 линейно независимы на отрезке а поэтому при подходящих (6, р,) интеграл I имеет, по крайней мере, один простой нуль на этом отрезке. Вообще, если k функций на отрезке линейно независимы, то существует их линейная комбинация, имеющая, по крайней мере, k—1 простой нуль. [c.38] Теорема. Интеграл I имеет не более одного нуля на отрезке а. [c.38] Трудные семейства (13) при f 0, с 0 исследуются аналогично. [c.38] Вернуться к основной статье