ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений из "Технический справочник железнодорожника Том 1 " С ОСЬЮ ох. Абсциссы этих точек являются искомыми корнями уравнения /(х) = 0. [c.237] Пример. Решить графически уравнение х + Зх — 2 = О. [c.237] Иногда бывает полезно разбить члены уравнения /(х) = 0 на две группы, оставив в левой части один или несколько членов и перенеся остальные в правую часть. Тогда уравнение примет вид/1(х) =/з ( ). после чего следует вычертить два графика у = /1 (х) и у =/2 (х) и найти точки пересечения построенных графиков. Абсциссы этих точек являются искомыми корнями уравнения /М=0. [c.237] Корни первого уравнения х, = — 2, х, = — 1, Хз=3 второе уравнение имеет один действительный корень X, = 1,4. Масштаб на оси ОУ выбран в двадцать раз меньше, чем на оси ОХ. [c.237] Вычертив кривые, соответствующие этим уравнениям (фиг. 333), мы видим, что они пересекаются только в одной точке Р следовательно, эта система имеет только одно действительное решение. [c.237] Процесс итерации прекращается, как только достигается требуемая точность, т. е. когда абсолютная величина разности между двумя соседними значениями корня становится меньше допускаемой погрешности. [c.237] Для ТОГО чтобы процесс итерации был сходящимся, достаточно вь7полнение условия l f (x) 1 в окрестности искомого корня. Сходимость тем быстрее, чем меньше (х) . Так как функцию р(х) можно выбрать по-разному, то следует иметь в виду, что при неудачном выборе tp(x) процесс итерации может привести не к уменьшению, а к увеличению погрешности. Так, например, метод итерации нельзя применить к уравнению x = tgx, но если это уравнение преобразовать к виду X = ar tg X, то процесс итерации станет сходящимся. [c.238] Для иа ождения начального приближённого значения корня перепишем уравнение в форме Ig X = 2х - 7, построим кривую у = Ig X н прямую у = 2х — 7 (фиг. 334) и определим абсциссу точки пересечения X. = 3,8. [c.238] Если ограничиться приближённым значением корня с пятью верными знаками, то на этом вычисления можно прекратить, приняв х = 3,7893. [c.238] Подобным образом применяется метод итерации и к решению систем уравнений с ббльшим числом неизвестных. [c.238] Для приложения этого метода следует предварительно произвести отделение искомого корня уравнения / (х) = О, т. е. установить интервал (а, Ь), на концах которого функция /(х) имеет разные знаки. Дальнейшее уточнение значения корня мои но производить по формуле ложного положения. [c.239] Повторное применение метода ложного положения геометрически означает приближение к корню при помощи хорд МЛ/и MN. и т. д. [c.239] Геометрически это означает приближение к корню при помощи касательных МТ, N8 и т. д. [c.239] Если кривая у=/(х) при пересечении с осью ОХ почти горизонтальна, т. е. если величина / (х) близка к нулю или, если вблизи точки пересечения кривой с осью ОХ имеется точка перегиба, то метод Ньютона не следует применять. В этом случае рекомендуется обратиться к методу ложного положения или к другим методам. [c.239] Начальное приближение х = 2 (фиг. 337) определяем графически. [c.240] Рассмотренный метод применим и для получения приближённых значений корней системы уравнений. [c.240] Третье приближение обнаружит, что все знаки второго приближения верные. [c.240] Метод Лобачевского применяется к решению алгебраических уравнений и не требует предварительного отделения корней. Он даёт возможность находить все корни алгебраического уравнения, включая и комплексные. Основная идея метода Лобачевского заключается в преобразовании данного уравнения в другое, для которого корнями служат некоторые достаточно высокие степени корней данного уравнения. При этом преобразовании абсолютные величины корней нового уравнения оказываются настолько сильно отличающимися друг от друга, что в соотношениях между коэфициентами и корнями уравнения (стр. 105) меньшими из корней можно пренебречь и, таким образом, получить простые приближённые формулы для определения корней. [c.240] Коэфициенты b , bi, b ,. .. получаются, как суммы соответствующих столбцов. При этом числа первой строки под первой чертой являются квадратами расположенных нал ними коэфициентов с чередующимися знаками (плюс для чисел, стоящих на нечётных местах, и минус—на чётных). Числа, находящиеся под этими квадратами, являются удвоенными произведениями пар коэфициентов. симметрично расположенных относительно коэфициентов, стоящих над квадратами знаки этих удвоенных произведений чередуются вдоль строки и вдоль столбца, причём знак первого произведения в каждой строке берётся соответственно знакам множителей. [c.241] Квадркрование корней следует прекратить, как только обнаруживается, что коэфициенты нового уравнения равны, в пределах нашей точности вычисления, квадратам коэфициентов предыдущего уравнения, т. е. (если при вычислении пользуются логарифмами) когда логарифмы коэфициентов начнут удваиваться. Следует, впрочем, иметь в виду, что некоторые коэфициенты могут и не обнаружить Этого свойства при после довательных квадрированиях это происходит тогда, когда исходное уравнение имеет либо кратные, либо комплексные корни, либо те и другие. [c.241] Вернуться к основной статье