ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы линеаризации при решении уравнений движения из "Теория механизмов и машин " Движение механизма называется асимптотически устойчивым, если при оо величины г/с стремятся к нулю, и неустойчивым, если хотя бы одна из величин у неограниченно возрастает. Если величины стремятся к некоторым конечным зна чениям, то движение механизма называется нейтрально устойчивым. [c.181] Если в общем решении уравнения (9.77) какое-нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной величине, то неограниченно возрастает по абсолютной величине и вся сумма в целом. Отсюда следует, что присутствия одного положительного вещественного корня at или одной пары сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью а О оказывается достаточным, чтобы величина ус неогра-ниченно возрастала. Следовательно, для асимптотической ус-тойчивости движения звеньев механизма необходимо и достаточно, чтобы, все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. [c.182] Среди корней характеристического уравнения может быть корень, равный нулю, а,- = О, или пара чисто мнимых корней /Р. Если при этом вещественные части всех остальных кор-ней отрицательные, то общее решение уравнения (9.77) будет иметь постоянное слагаемое Л,- или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой. В этом случае механизм будет ней трально устойчив. [c.182] Корни характеристического уравнения (9.78) для исследо-вания устойчивости движения удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости. Тогда условие устойчивости при линейных уравнениях движения формулируется как условие расположения всех корней характеристического уравнения слС ва от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или одна пара сопряженных комплексных корней находится справа от мнимой оси, то механизм неустойчив. Мнимая ось является границей устойчивости. [c.182] Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) ). Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.182] Предварительно заметим, что уравнение движения первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты характерИ стического уравнения больше нуля. Для уравнений более высо-квго порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты уравнения по-ложительные, то все его вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. [c.183] При равенстве нулю коэффициента движение механизма соответствует границе устойчивости. При равенстве нулю какого-либо другого коэффициента движение механизма либо на границе устойчивости, либо неустойчиво. [c.183] Для более детального исследования соотношений между коэффициентами характеристического уравнения Раус предложил составлять таблицу, названную впоследствии его именем (табл. 7). [c.183] Критерий Рауса формулируется следующим образом для того чтобы движение было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к виду, когда во 0. Тогда для устойчивости движения все остальные коэффициенты первого столбца также должны быть положительными, т. е. [c.184] Если один из коэффициентов первого столбца равен нулю, а остальные — положительные, то характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (граница устойчивости). [c.184] По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают коэффициенты, начиная с а до а . Затем каждый сто.пбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз — уменьшались. Вместо О(оэффициентов с индексом меньше О и больше п пишут нуль. [c.184] Критерий Гурвица формулируется так движение устойчиво, если при Со О положительны п определителей Гурвица, получаемых из (9.80), т. е. [c.184] Частотные критерии устойчивости Найквиста и Михайлова. [c.185] К частотным критериям устойчивости принадлежат критерии Найквиста (1932) и Михайлова (1938). Оба критерия используются преимущественно при исследовании систем автоматического регулирования, так как позволяют учесть влияние обратных связей на устойчивость регулирования. Однако и при исследовании устойчивости движений в механизмах они могут быть полезны, в особенности в тех случаях, когда требуется установить, в каких пределах можно изменять тот или иной параметр механизма. [c.185] Кривая, которую описывает конец вектора D ja)) на комплексной плоскости при изменении (о от О до оо, называют годографом Михайлова. Годограф начинается при (о = О на вещественной оси в точке йп и при ю = оо уходит в бесконечность в квадранте, соответствующем порядку характеристического уравнения. Для устойчивости системы п-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от О до оо годограф Митйло й начинался на положительной вещественной полуоси и обошел в положительном направлении против хода часовой стрелки) послбдовсетелто п квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. [c.185] На рис. 53, а показаны годографы Михайлова устойчивых систем первого — четвертого порядков с равным значением коэффициента йп. При четном п годограф уходит в бесконечность вдоль оси X, а при нечетном п — вдоль оси Y. [c.186] На рис. 53, б показаны годографы неустойчивых систем чет-вертого порядка для случаев, когда характеристический полином имеет один вещественный корень (кривая /), два положительных вещественных корня (кривая 2), два комплексных сопряженных корня с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая 4). [c.186] При использовании критерия Найквиста устойчивость системы определяется по амплитудно-фазовой частотной характеристике W jui). Для устойчивости системы необхо-димо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика при изменении со от О do сю не охватывала точку с координатами [—1, /0]. [c.186] Виды нелинейностей в механизмах. Нелинейности в уравнениях движения механизмов возникают или из-за нелинейной зависимости инерционных коэффициентов от обобщенных коор динат, или из-за нелинейных характеристик сил, действующих на звенья механизма. На рис. 55 показаны типовые нелинейные характеристики упругих и диссипативных сил. [c.187] В большинстве случаев зависимость между силой F и упру гой деформацией х в соответствии с законом Гука для метал лов принимается линейной (прямая / на рис. 55, а), т. е. коэффициент жесткости с считается постоянной величиной. Однако для резины коэффициент жесткости возрастает с увеличением силы F, и тогда характеристика F x) называется жесткой (кривая 2 на рис. 55, а). Такую же характеристику имеют упругие силы, действующие на элементы высших пар, так как при точечном или линейном контакте рабочих поверхностей контактная жесткость возрастает с ростом нагрузки. Мягкую характеристику (кривая 3 на рис. 55, а) часто имеют звенья, выполненные из полимеров. Кроме того, иногда для получения требуемых динамических характеристик вводят в состав механизма специальные демпфирующие устройства и конические пружины с нелинейными характеристиками типа кривых 2 я 3. [c.187] Вернуться к основной статье