ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие критической силы. Формула Эйлера из "Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости " Любому из нас доводилось руками разрывать обыкновенную швейную нитку. При этом вряд ли кто задумывался о том, что в условиях осевого растяжения материал работает при линейном напряженном состоянии и держится до тех пор, пока растягивающие напряжения не достигнут временного сопротивления на разрыв. Тем не менее факт сопротивления растяжению—разрыву фиксируется вполне четко. Особенно в тех случаях, когда нить оказывается слишком прочной. [c.183] Попытка же заставить ту же самую нить противостоять осевому сжатию представляется нам изначально совершенно абсурдной — нить уже просто под действием собственного веса потеряет прямоосную форму и сомнется. Нелепость такой попытки очевидна из бесчисленных примеров, даваемых нам природой и техникой буквально на каждом шагу. Мы прекрасно знаем, что и тончайшие нити паутинок, и лианы тропических лесов, и якорные цепи, и стропы парашюта в известных пределах успешно сопротивляются только растягивающим усилиям. [c.183] Рассмотрим еще один пример. Возьмем лист обычной писчей бумаги и попробуем его разорвать. Особых проблем не возникает при этом, хотя и здесь мы чувствуем — материал бумаги сопротивляется разрыву. Но попробуем заставить этот же лист сопротивляться осевому сжатию, поставив вертикально на стол. Ничего путного из этого не выйдет. Лист согнется и упадет на стол (рис. 8.1, а, б). [c.183] Если же мы тот же самый лист свернем трубой, которую зафиксируем хотя бы с помощью двух обыкновенных канцелярских скрепок, получим совершенно удивительный результат. Такая труба стоит на столе вертикально, спокойно воспринимает свой собственный вес, да еще может успешно сопротивляться, не сминаясь, и весу положенной сверху не очень тяжелой книги или тетради (рис. 8.1, в). [c.183] что такая разительная перемена никак не связана с прочностными свойствами материала. Все в данном случае определяется геометрией системы. Следовательно, мы имеем дело с явлением, выходящим за рамки уже хорошо известного нам прочностного подхода. [c.183] Тем более что не только осевое сжатие дает пример на первый взгляд совершенно неожиданного поведения деформируемых систем. [c.185] Например, простейший вариант плоского поперечного изгиба доска-консоль, поставленная на ребро, нагружена сосредоточенной силой. При некоторых условиях, на первый взгляд, абсолютно непредсказуемо плоский изгиб резко нарушается. Деформируемая ось балки становится пространственной кривой, сама консоль принимает форму сложной поверхности в пространстве, поперечные сечения балки явно закручиваются (рис. 8.2, а). Другой пример — равномерное радиальное обжатие тонкостенного цилиндра. И здесь при определенных условиях, явно не связанных с прочностными характеристиками материала, происходит резкое нарушение исходной геометрии системы. Кольцеобразное сечение трубы превращается в эллипс (рис. 8.2, б). Исключительная актуальность такого явления становится очевидной, если вспомнить, что приведенное сечение, к примеру, это разрез корпуса подводной лодки, находящейся в погруженном состоянии. [c.185] Все вышеприведенные примеры имеют прямое отношение к тому, что в механике называют устойчивостью деформированного состояния систем, точнее, к ее потере. [c.185] Иначе обстоят дела при центральном сжатии (рис.8.3, б). Любой эксцентриситет дает изгибающий момент, который ситуацию усугубляет, стремится увеличить отклонение от вертикали. Если возникающий при этом процесс роста эксцентриситета пойдет по нарастающей, деформированное состояние осевого сжатия окажется неустойчивым. Это, естественно, совсем не означает, что равновесное состояние стержня в условиях центрального сжатия всегда оказывается неустойчивым. В лабораториях, как известно, успешно проводят испытания на сжатие кубиков и цилиндриков, доводят их до разрушения и определяют прочностные характеристики материала при сжатии. [c.186] Следовательно, речь идет только о принципиальной возможности потери устойчивости прямоосной формы деформации при сжатии в отличие от растяжения. Здесь и в дальнейшем под устойчивостью деформированного состояния системы будем понимать такую ситуацию, при которой любые малые отклонения системы от исходной формы деформации принципиально эту форму не изменяют. [c.186] качественно мы установили, что центрально сжатый призматический стержень может пребывать в двух состояниях осевой деформации — устойчивом и неустойчивом. При этом очень наглядной оказывается аналогия между нагружаемым стержнем и шариком, расположенным в лунке или на холмике. Устойчивое равновесие сжатого стержня отвечает положению шарика в лунке, неустойчивое — шарик на макушке холма. Между этими двумя состояниями имеется граница. Для шарика — это пребывание на горизонтальной поверхности, состояние безразличного равновесия. Откатите шарик по горизонтали чуть в сторону, — он не будет после остановки стремиться вернуться обратно или укатиться дальше. В этом смысл безразличности равновесия. [c.186] Теперь попробуем определить значение критической силы для центрально сжатого призматического стержня. Возьмем случай шарнирного закрепления по торцам (рис. 8.4, а). Полагаем, что стержень находится в состоянии безразличного равновесия, т. е. Я = Это означает, что стержень может какое-то время находиться в стационарном состоянии и при отклонении от прямоосной формы. [c.187] Очевидный вроде бы на первый взгляд вариант Л = О не годится. Тогда ш = О по всей длине стержня, и ни о каком его искривлении говорить не приходится вовсе. [c.188] Критическая сила определена. Однако полученная формула требует некоторых уточнений и дополнений. [c.188] Возможна ли реально форма потери устойчивости, отвечающая варианту п = 2 Оказывается, вполне возможна достаточно по середине стержня, при X = 0.5/ поставить ограничители перемещений, практически те же опоры (рис. 8.4, б). Естественно, что система оказывается более жесткой, а величина критической силы возрастает. [c.188] Во-вторых, необходимо уточнение в связи с осевым моментом / , фигурирующим в формуле (Ь). Мы взяли момент инерции относительно оси у, подразумевая, что изгиб и выпучивание стержня будут происходить в плоскости xOz. Это так и будет, если стержень имеет прямоугольное сечение и лежит плашмя (рис. 8.4, в). А что будет, если стержень поставлен на ребро Стержень начнет искривляться в горизонтальном направлении. [c.188] Эйлера в России по времени пересекались с годами деятельности другого великого иностранца, точнее иностранки — императрицы на русском престоле — Екатерины Великой. [c.190] При всей приближенности подобных оценок очевидно следующее изменение геометрии поперечного сечения центрального сжатого элемента конструкции при всех прочих равных условиях является хорошим резервом повышения его грузоподъемности. [c.190] Вернуться к основной статье