ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Деформированное состояние в точке тела и перемещения — связь между ними. Дифференциальные зависимости Коши из "Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости " Деформированное состояние в окрестности точки тела. [c.53] При внешних воздействиях любые реальные конструкции и составляющие их элементы деформируются, т, е, изменяют свои размеры и форму. Происходящие при этом перемещения точек деформируемых тел принципиально отличаются от так называемых жестких смещений, характерных для абсолютно твердых объектов, и обозначаются векторной функцией от трех координат — и (х,у, г). При динамических воздействиях появляется четвертый аргумент — время. [c.53] В дальнейшем во всех выкладках полагаем, что сам вектор и и его составляющие по осям координат в пределах рассматриваемого объекта являются функциями непрерывными вместе со своими первыми двумя производными. [c.53] В подавляющем большинстве реальных конструкций приходится иметь дело с деформациями упругими и, как следствие, весьма малыми. Действительно, увидеть картину деформирования мостового пролета невооруженным глазом такой, как она показана на рис. 3.1, значит, присутствовать, по сути дела, м стадии разрушения моста. Фактически, конечно, модуль вектора 11 и величины проекций и, V, ш в сотни раз меньше характерных размеров рассматриваемой конструкции. Это обстоятельство нами всегда в дальнейшем будет учитываться, как и то, что функция 7 изменяется достаточно плавно при переходе от точки к точке. Последнее означает малость первых производных от и, V, гю по сравнению с единицей. [c.53] Наряду с перемещениями в сопротивлении материалов используется понятие деформированного состояния в окрестности точки. Это логично, так как изменение формы и объема всего тела в целом, описываемое функцией перемещений, — результат деформирования малых частиц, слагающих весь объект. [c.54] Если подобные частицы представить, к примеру, в виде бесконечно малых кубиков, деформацию последних с достаточной точностью можно описать, задавая изменение линейных размеров ребер и искажение прямых углов между гранями. Такое рассуждение приводит к необходимости вводить в точке тела два вида деформаций — относительное удлинение и относительный сдвиг. [c.54] И определяет величину относительного удлинения в )А по направлению г. [c.54] Существенно то, что указание направления, по которому подсчитывается линейная деформация, необходимо в такой же степени, как и задание площадки, на которой определяется напряжение. [c.55] Здесь фигурирует бесконечно малый отрезок йг, выделенный на г и меняющий свою длину до величины йг . При этом, вообще говоря, ( )Л предполагается лежащей в центре тяжести выделенного бесконечно малого отрезка. Если же она указывается на его границе, реализация условия Дг- 0 подразумевается путем устремления )В к ( М, а не наоборот. [c.55] Относительное удлинение — величина безразмерная. Считается положительной, если отрезок йг удлиняется. [c.55] Относительные сдвиги измеряются в радианах и считаются положительными при уменьшении соответствующих прямых углов, как показано на рис. 3.2, б. [c.55] Математическое обоснование этому будет дано ниже. [c.56] В общем случае статического нагружения тел компоненты тензора деформаций оказываются функциями трех переменных. [c.56] В заключение настоящего параграфа отметим два обстоятельства. [c.56] Первое. Понятие направлений , фигурирующих при определении линейных или угловых деформаций в точке тела, подразумевает, по существу, некоторые физические линии, соединяющие в теле реальные частицы. Такие линии или их совокупности, образующие правильные фигуры, можно, к примеру, нанести краской на боковой поверхности балки (рис. 3.1, б). При использовании легко деформируемого материала типа резины можно наблюдать, как в процессе нагружения квадрат ММ1К превращается в вытянутый прямоугольник. Это происходит за счет линейных деформаций и е . Одновременно аналогичный квадрат ВСОЕ, расположенный ближе к правой опоре, превращается в косоугольную фигуру вследствие появления относительных сдвигов у (рис. 3.1, в). [c.56] Второе. Понятия деформированного и напряженного состояния во многих своих элементах с точностью до обозначений совпадают. [c.56] Возникающая при этом прямая аналогия будет нами систематически использоваться при всех последующих рассуждениях и аналитических построениях. [c.56] Наличие математических зависимостей между функциями еДх, у, г) у, г), с одной стороны, и функцией полного перемещения и (х, у, г), с другой — предопределено очевидной физической реальностью деформация тела как в целом, так и отдельных его частиц невозможна без перемещений. Установим эти связи. [c.57] Вывод связи между относительными сдвигами и перемещениями также базируется на исходном определении. На рис.3.4 показаны два бесконечно малых отрезка и йг. , взятых около ( )А на двух взаимно перпендикулярных нагфавлениях и г . Через 7 , и и обозначены проекции вектора и на направления 7 и г . [c.58] Их обычно называют дифференциальными зависимостями Коши. [c.59] Вернуться к основной статье