ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение относительной структурной устойчивости (относительной грубости) из "Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела " Классическое определение грубости [2, 8], а также определение, данное в работе [142, 143], оперируют с двумя объектами, а именно, с классами динамических систем и с пространством деформаций систем со своей топологией. [c.143] Глава 3. Относительная структурная устойчивость... [c.144] Можно ввести определение грубости таким образом, что оно не будет запрещать наличие негрубых траекторий, лежащих на границе области. А это, вообще говоря, не соответствует содержанию понятия грубости. [c.144] Введение понятия грубости без специальных предположений о границе области представляется естественным и необходимым с различных точек зрения [16, 25]. [c.144] В основе же понятия грубости (в том числе и различных степеней негрубости) лежит понятие топологической эквивалентности динамических систем. [c.144] Определение, данное Андроновым и Понтрягиным [8], наряду с близостью в некоторой топологии рассматриваемой системы и ее деформации требует близость к тождественному гомеоморфизма, через который осуществляется топологическая эквивалентность последних двух систем. Определение же, данное Пейксото [260-262], не требует указанной близости. [c.145] Если система груба по Андронову-Понтрягину, то она является грубой и по Пейксото. При этом необходимые и достаточные условия грубости по Андронову-Понтрягину совпадают с необходимыми и достаточными условиями грубости по Пейксото. Последнее определение имеет следующее преимущество непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При первом же определении этот факт нужно доказывать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости. [c.145] Глава 3. Относительная структурная устойчивость... [c.146] Приведенное определение зависит от г. При необходимости явно указывать на эту зависимость можно говорить о грубости в классе С [137 140]. [c.146] До сих пор мы говорили о глобальных свойствах векторных полей на многообразиях. Можно анализировать локальное топологическое поведение траекторий векторных полей. Для векторных полей из некоторого открытого плотного подмножества в пространстве Х М) можно описать поведение траекторий в окрестности каждой точки многообразия. Кроме того, локальная структура траекторий не меняется при малых возмущениях поля (так называемая локальная грубость). Таким образом, получается полная классификация через топологическую сопряженность. [c.146] Замечание. По всей видимости, лишь в локальном случае отношение топологической сопряженности является конструктивным, поскольку в глобальном случае это влечет наличие очень жестких условий. [c.146] В вьюших размерностях множество грубых полей по-прежнему обширно, но не является уже всюду плотным. Здесь существуют богатые и более сложные явления, сохраняющиеся при малых возмущениях первоначального поля. Даже для грубых полей структура траекторий предельных множеств до конца не ясна, и ее описание по-прежнему остается областью активного исследования [164, 165]. [c.146] Параллельно определениям, данным выше, в работах [7-9] изучались маломерные грубые системы, а в работе [13] — теория систем Аносова, для которых понятие грубости оказалось естественным. [c.146] За последнее время появилось еще несколько видоизмененных определений грубости [140]. Все они имеют одно общее сходство деформация рассматриваемых динамических систем на некотором многообразии М берется во всем пространстве гладких векторных полей х(С ) в - топологии (чаще всего г=1). [c.147] Будем рассматривать векторные поля (динамические системы), деформируемые не над всем классом Д (М ) полей, а лишь над некоторым подклассом Х(б), определенным с помощью класса функций Qe . [c.147] Заметим, что близость векторных полей понимается в С — топологии, а близость гомеоморфизма — в С — топологии. При этом, речь идет не о сопряжении, а об эквивалентности. [c.147] Глава 3. Относительная структурная устойчивость... [c.148] Вернуться к основной статье