ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О траекториях, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки плоскости из "Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела " Тогда для любой достаточно гладкой функции FgO существует единственная траектория, уходящая в бесконечность (имеющая в качестве (и-предельного множества точку (+0,+оо) . [c.106] Доказательство. Дополним фазовую плоскость R a,(o бесконечно удаленной точкой. Получим расширенную фазовую плоскость 7 а, со - Отобразим область Пп (а,со)еТ со 0 на сферу Римана или Пуанкаре. В окрестности северного полюса сферы существуют новые координаты (а, у), у = (1/(о), в которые переводятся старые координаты из рассматриваемой области расширенной фазовой плоскости неособым преобразованием. [c.106] При этом траектории данного уравнения параметризованы по-другому, нежели траектории системы (1.24),(1.25). [c.106] что у уравнения существует особая точка (0,0), соответствующая бесконечно удаленной точке (-1-0,+оо) системы (1.24),(1,25). Нетрудно убедиться в том, что точка (0,0) уравнения является гиперболическим седлом, что и доказывает лемму. [c.107] При этом траектории данного уравнения параметризованы по-другому, нежели траектории системы (1.31),(1.32). [c.107] ВДОЛЬ оси 2, а во втором - вдоль оси хь Дальнейшие рассуждения аналогичны доказательствам лемм 2.12, 2.13. [c.109] Действительно, в этом случае к северному полюсу сферы траектория будет стремиться под определенным углом, что соответствует стремлению траектории на плоскости к прямой, имеющей ненулевой и конечный угловой коэффициент наклона. [c.109] При этом искомая фазовая траектория единственна, если СМ строгое. [c.110] Заметим, что множество всех предельных множеств траектории, начинающейся в точке х , может быть не односвязным. [c.110] Схема доказательства. По теореме Бендиксона [28] предельное множество на плоскости - только лишь положение равновесия и простой или сложный предельный цикл. Поэтому, в принципе, достаточно разобрать все три случая (данное исследование мы для краткости опустим). [c.110] Тогда траектории всех полей 9-, 8б[8 ,8 ] стремятся к точке М (в силу выполнения СМ). Поскольку СМ строгое, для любого б 0 система с векторным полем (е+деЕ) является системой сравнения для. Легко понять, что траектория поля, выпущенная из неособого начального условия, никогда не пересечет соответствующую траекторию поля 9 , выпущенную из того же начального условия. В силу последнего, траектории полей и будут иметь разные предельные множества, причем е А ] кг е . Противоречие. [c.111] Глава 2. Некоторые вопросы качественной теории... [c.112] Тогда существует единственное значение параметра е = о ( 1, 2) такое, что траектория, выходящая из южного (северного) полюса, входит в северный (южный) полюс (рис. 2.3) (это гетероклиническая сюпуация на сфере) (ср. с [65]). [c.112] Вернуться к основной статье