ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кривые контактов и системы сравнения. Предельные циклы и проблема различения центра и фокуса из "Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела " Вычислять характеристическую функцию можно для любых двух векторных полей на плоскости. В этой связи назовем системой сравнения для данной системы ту систему, качественное расположение траекторий которой полностью известно. [c.94] Ранее уже проводилось сравнение векторных полей систем (1.7 Х (1-31),(1-32), (1.24),(1.25). [c.95] Действительно, если Р Ф,зеЪ то, в силу леммы 2.9, характеристическая функция во всей фазовой плоскости знакоопределена. [c.95] Замечание 2. Поскольку система (1.24),(1.25) на плоскости имеет три топологически различных типа фазового портрета, для исследования системы (1.31),(1.32) в каждой из областей ее параметров используется свой топологический тип (см. также главу 4 и ил. 3—5). [c.95] В качестве системы сравнения для системы (1.31),(1.32) можно использовать систему (1.24),(1.25 ), описывающую консервативную систему, — физический маятник на фазовой плоскости. [c.95] Замечание 3. У системы (1.31),(1.32) не существует замкнутых кривых из траекторий, охватывающих фазовый цилиндр, если выполнены все условия предложения 2.1. [c.95] Доказательство. От противного. Пусть существует искомая замкнутая кривая. Можно считать, что начальными условиями для такой траектории является точка (0,со ), ю 0. [c.95] В полосе П уравнение (2.8), взятое со знаком минус , задает лишь точку (О, 0), а взятое со знаком плюс , - НКК. [c.96] НКК симметрична относительно обеих осей координат (после переноса из полосы П в полосу П), пересекает обе оси под прямым углом и только два раза (по теореме о неявной функции). Тем самым предложение доказано. [c.96] Поставим также вопрос о существовании замкнутых кривых из траекторий для системы (1.31),(1.32) в полосе П. Для этого докажем утверждение, обобщающее рассуждения доказательств лемм 2.6, 2.7, 2.8, 2.9. [c.97] Тогда во всей области D вокруг точки х не существует ни одной замкнутой кривой из траекторий поля 9,. [c.97] Лемма 2.10. Рассмотрим систему (1.31),(1.32) в полосе П, при условиях, если НКК системы сравнения (1.24),(1.25) и системы (1.31),(1.32) ограничивает область, целиком содержащую ТСП, продолжающуюся до точек ( 0) (3- ,0). [c.98] Тогда в полосе П не существует замкнутой характеристики системы (1.31),(1.32). [c.98] Таким образом, вопрос существования замкнутых характеристик системы (1.31),(1.32) на фазовом цилиндре при условии выполнения леммы 2.9 свелся к отысканию таких кривых в полосе П вокруг точки (я,0). Как было показано в 3, при некоторых условиях такие кривые существуют, а при некоторых — нет. [c.99] Предложение 2.3. Характеристическая функция Х((2.11),(2.12)) при а о 2 в полосе (х,з )е7 -1 л 1 положительно определена (она равна нулю лишь в начале координат). [c.101] Заметим, что правые части системы (2.12) отличаются от правых частей системы (2.11) лишь членами пятого порядка малости по р=(х +у ) , т. е. членами порядка О(р ). [c.101] Предложение 2.4. Точка (0,0) является сложным устойчивым фокусом при аПд 2 для системы (2.12). [c.101] Таким образом, при Х Х, и при 2 последняя функция положительно определена в полосе (х, )еЛ -1 х 1 (равна нулю лишь в начале координат). Но как легко понять, начало координат для системы (2.13 ) является более неустойчивой особой точкой, чем начало координат для системы (2.13 ). Таким образом, векторное поле системы (2.13 ) поворачивается при Х Х около векторного поля системы (2.13 ) на положительный угол. [c.102] Для поиска подходящей системы сравнения, в целях исследования существования предельных циклов, проблемы различения центра и фокуса и т.д., вовсе не обязательно иметь ТСП с центром в данной особой точке. Искомая система сравнения может иметь либо притягивающую, либо отталкивающую особую точку. [c.103] Пусть в области D, содержащей единственную особую точку системы (А), заданной для простоты на плоскости, стоит проблема различения центра и фокуса. Пусть в этой же области система Б) имеет ту же единственную особую точку хо. [c.103] Вернуться к основной статье