ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Замечания по бифуркации рождения цикла Пуанкаре-Андронова-Хопфа из "Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела " Глава 2. Некоторые вопросы качественной теории... [c.70] Бифуркация рождения цикла - это появление периодических орбит ( автоколебаний ) из устойчивой неподвижной точки при прохождении параметра через критическое значение. Хотя в наше время доказана возможность применения бифуркационной теории Хопфа к нелинейным параболическим уравнениям с частными производными, мы целиком и полностью ограничимся применением этой теории к обыкновенным дифференциальным уравнениям на плоскости. [c.70] Как бьшо указано ранее, обычно к указанной бифуркации относят бифуркацию рождения устойчивого цикла из слабого асимптотически устойчивого положения равновесия. [c.70] При этом предположим, что начало координат при ц = Цц асимптотически устойчиво. [c.71] Доказательство этой теоремы (а также более общей) можно найти в [119]. Основная техника, используемая в доказательстве - это метод инвариантных многообразий. Суть доказательства лежит в применении теоремы о неявной функции. [c.71] В силу теоремы 2.1 можно сформулировать аналогичную теорему для рождения неустойчивого предельного цикла. [c.71] При этом предположим, что при x- Xq начало координат является отталкивающим положением равновесия. [c.71] Теорему 2.2 можно доказать либо методом, используемым при доказательстве теоремы 2.1, либо сведением системы (2.1) к новой системе при помощи замены независимого переменного и в которой произойдет рождение устойчивого предельного цикла согласно теореме 2.1. [c.72] Замечание 1. Теоремы, изложенные выше, существенно связаны с однопараметрическими семействами дифференциальных уравнений. Поэтому никаких равномерных оценок на параметры, при которых происходит бифуркация рождения цикла, вообще говоря, не существует. [c.72] Таким образом, если система уравнений зависит от т параметров, то, вообще говоря, рождение цикла связано лишь с изменением одного параметра при фиксированных остальных т 1 параметрах. [c.72] Замечание 2. Основным моментом существования указанной бифуркации является наличие негрубого положения равновесия (но только фокуса - аттрактора или репеллера). Можно привести примеры, когда все условия теоремы выполнены кроме одного как в линейном, так и в нелинейном случае положение равновесия является центром. Последнее условие и является ключевым в данном вопросе. Оно будет противоречить рождению фубого предельного цикла (ср. с [11]). [c.72] что если Л 0, то в полосе П замкнутой кривой из траекторий нет, поскольку 0. [c.74] Докажем, что начало координат при h h асимптотически устойчиво. [c.75] Следствие. Функция F=Fo= 5sina osa A,B Q (см. (0.9)) удовлетворяет условию леммы 2.1. В силу этого в полосе П появится устойчивый предельный цикл. [c.76] Лемма 2.2 следует из леммы 2.1 и теоремы Четаева о неустойчивости. [c.76] Глава 2. Некоторые вопросы качественной теории... [c.78] Поскольку ц=0, то корни характеристического уравнения последней системы чисто мнимы. [c.78] Здесь У. - координатные направления для (а,н ). Если (см. [249]) / 0, то начало координат асимптотически устойчиво. [c.79] Нетрудно заметить, что 5 , =7 = 2 =0. Поэтому индекс J становится нечетной функцией от коэффициентов искомого векторного поля. [c.79] Следствие. Будут получены необходгтые и достаточные условия как наличия аттрактора, так и наличия репеллера (если JфO). [c.79] Вернуться к основной статье