ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соображения о применении ЭВМ для замены дифференциального уравнения высокого порядка эквивалентным ему по переходному процессу нелинейным уравнением второго порядка из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Для этого мы воспользуемся сведениями о связи траектории на фазовой плоскости, с одной стороны, и только что изложенными сведениями о приближенных способах интегрирования дифференциальных уравнений динамической системы — с другой. Для простоты ограничим себя рассмотрением линейной задачи, а затем обобщим ее. [c.264] Начальные условия в виде значений самой величины у я (п — I) последовательных производных ее в начальный момент времени / = О также известны. [c.264] Только что было показано в общем виде, как оно может быть преобразовано в систему соответствующих дифференциальных уравнений первого порядка (также неоднородных), куда будут входить, кроме у, еще и [п — 1) новых неизвестных, но так, что в каждом таком уравнении в его левой части будет иметь место первая производная только одной неизвестной. [c.264] Наличие отпечатанных на бланке результатов этих двух последовательностей значений у и у для каждого шага интегрирования дает возможность изобразить на координатной сетке у, у ) кривую у = (у), являющуюся фазовой траекторией этого процесса. [c.264] Очевидно, эта фазовая траектория способна дать при своей развертке вс времени ту же самую истинную кривую переходного процесса у t), которая является частным интегралом исходного уравнения п-го порядка и, следовательно, она эквивалентна ему по выходу. [c.264] Все это относилось к линейному уравнению с постоянными коэффи-, циентами, но легко сообразить, что поскольку приближенные способы интегрирования и по Эйлеру и по Рунге—Кутта справедливы и работоспособны и для уравнений, в которых коэффициенты а , а ,. .. [c.264] Все это, конечно, относится к чисто вычислительной стороне дела, что и понятно для этой главы. Но что касается до инженерного истолкования полученной эквивалентной фазовой траектории, то для этого требуется уже не только чисто математический подход. Необходимо иметь некоторые сведения или составить какие-либо правдоподобные гипотезы, обязательно проверяемые имеющимися в нашем распоряжении средствами и сведениями. [c.265] В сущности в нашем распоряжении, кроме самого дифференциального уравнения и начальных условий, имеется еще и кривая возмущающих воздействий л (/) в функции от времени, а от машинных или каких бы то ни было других вычислений мы получили на выходе кривую у (О и, как мы теперь знаем, еще фазовую кривую у у). [c.265] Если для системы второго порядка построенная для каких-то начальных условий фазовая траектория дает возможность по ней же построить переходный процесс системы для любых других начальных условий, изображающая точка которых лежит на этой траектории, то для системы третьего и более высокого порядков построенная указанным выше способом фазовая траектория эквивалентной системы не дает такой возможности, хотя бы изображающая точка начальных условий лежала на ней же. [c.265] Это объясняется тем, что число начальных условий систем высоких порядков превышает число начальных условий самой эквивалентной фазовой траектории. Лишние начальные условия, определяющие поведение систем высокого порядка, входят в два начальных условия эквивалентной фазовой траектории и во все уравнения, определяющие ход этой траектории. Поэтому даже при одинаковых начальных условиях эквивалентной фазовой траектории вид ее может быть другим. [c.265] Таким образом, хотя при данном процессе эквивалентирования систем высокого порядка получаемая фазовая траектория лишена возможности выразить переходщ 1Й процесс для любой начальной фазы, тем не менее она представляет известные удобства в отношении наглядности и компактности выражения характерных свойств переходного процесса сложной системы. [c.266] В заключение добавим еще некоторые соображения о том, чего не следует передавать на вычислительный центр, обладающий мощными ЦВМ (это не относится к машинам типа Проминь и подобным им, на которых в полтора-два часа исследователь сам обучается программированию, а через два-три сеанса выучивается на собственном опыте избегать некоторых задач). [c.266] Не следует, например, при решении систем полилинейных уравнений заставлять машину вычислять определитель с целью убедиться в том, плохо или хорошо обусловлена система — машийа сама, производя операции решения, очень быстро сообщит об этом, исчерпав свои возможности. [c.266] Нецелесообразно передавать на машину однократно решаемую задачу, когда затраты времени на программирование и другие вспомогательные операции не оправдываются скоростью вычислений. Лучше, напротив, обобщить задачу, расширив условия или изменив диапазон значений параметров, что для машины не представляет затруднений заказчику можно дать запас возможностей на будущее время. [c.266] Во всех случаях не следует слепо полагаться на результаты машинного решения с каким бы числом знаков они не были бы выданы. Необходимо произвести независимую проверку, хотя бы и гораздо более грубым и приближенным ручным способом. Вот почему автор этой книги и стремился дать в распоряжение читателя такие приемы и способы. Слепое доверие и нежелание разобраться в своей собственной задаче приводит к неумению и непониманию смысла результатов, а это в конце концов может привести к очень серьезным последствиям. [c.266] Вернуться к основной статье