ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение ЭВМ для интегрирования дифференциальных уравнений динамических систем при помощи преобразования его в систему дифференциальных уравненений первого порядка из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " При решении на ЦВМ систем уравнений со многими неизвестными обнаружилось одно любопытное явление (хотя, заметим, оно было известно и ранце, при чисто графическом подходе к решению этих задач, только относили его к несовершенству чертежной работы). Дело заключается в том, что результат вычислений оказался зависящим от расположения строк матрицы, которое, как легко себе представить, есть дело совершенно произвольное. [c.257] Число возможных вариантов расположения строк, очевидно, равно числу перестановок из п элементов, т. е. п. [c.257] С другой стороны, из алгебры известно, что изменения расположения коэффициентов матрицы и по строкам и по столбцам не влияет на собственные значения этой матрицы, т. е. на решение системы. [c.257] Как видно из приведенного примера, значение величины х при двух вариантах расположения строк составляет соответственно 1385,6 и 1467,5, т. е. полученные результаты отличаются на 6%, хотя вычисления проводились со значительно более высокой точностью (округлялась только шестая значащая цифра). Отсюда можно сделать совершенно определенный вывод, что эту систему уравнений нельзя решить с помощью логарифмической линейки при расчете с точностью до трех значащих цифр ошибки будут много больше, и значение Хд станет совсем недостоверным. [c.258] Таким образом, упомянутое выше положение о независимости собственных значений от порядка следования строк и столбцов матрицы справедливо только для алгебраических символов или для таких чисел, при вычислениях с которыми мы имели бы всегда абсолютно точные результаты — чего на самом деле никогда не бывает. В действительности же при операциях с числами, имеющими ограниченную точность, дело обстоит по-иному. Ошибка в конечном результате зависит и от способа и последовательности арифметических действий, где возникает необходимость в неизбежных округлениях. [c.258] Прежде всего это зависит от ввода данных в заданный алгоритм вычислений, а это, в свою очередь, зависит от расположения данных в самом задании, т. е. в данном случае от расположения коэффициентов в матрице. [c.258] В графическом же способе ручного решения этой же задачи это обстоятельство сказывается еще скорее и нагляднее по величине углов пересечения прямых — лучей, точки пересечения которых служат нам для проведения горизонталей, где определяются отрезки, выражающие новые значения коэффициентов уравнений, т. е. отрезков, получаемых при исключении неизвестных. Малость этих углов, приводящая иногда к тому, что требуемая точка пересечения лежит вне границ чертежа, служит несомненным признаком неудовлетворительного качества ввода данных (а может быть, и самих данных). Машина же считает беспристрастно и те и другие вводы — все, какие ей заказаны. [c.258] Вычисление определителей на практике является весьма утомительной и требующей большого внимания работой. [c.258] Но этот способ не является единственным и притом самым удобным. [c.259] один из известных немецких алгебраистов конца прошлого и начала текущего столетия, предложил и другой прием, на первый. взгляд, несколько более громоздкий, но на самом деле, имеющий некоторые преимущества на практике, в особенности при машинном применении. [c.259] Рассуждая теоретически, в идеальном случае совершенно точных вычислений каждая из этих формул должна дать одно и то же численное значение А, на самом же деле по причинам, указанным выше, мы получим величины, отличающиеся друг от друга. [c.259] Однако в каждую тройку собственных значений х , х , Хд в знаменатель будет входить одна и та же численная величина А, что позволит избежать трех последовательных делений (чего ЦВМ не любит ), заменив эти действия тремя умножениями на предварительно вычисленную обратную величину, т. е. на 1/А. [c.259] А = Л — б, что является очень неблагоприятным обстоятельством, так как относительная ошибка разности всегда будет больше относительной ошибкой любой из входящих в нее величин. Величина А входит в знаменатель, поэтому она очень сильно сказывается на результате деления. Близость определителя к нулю издавна считается несомненным признаком плохо обусловленной системы, но к этому вопросу нам придется еще вернуться. [c.259] От правильного решения обоих вопросов и будет, очевидно, зависеть надежность результата и практическая ценность способа. [c.260] Мы уже знаем, что процесс итерации может сходиться быстро, может сходиться медленно, но все же сходиться, может расходиться быстро и (это самый тяжелый для практики случай) может расходиться медленно. [c.260] Суждение об этом по трем (в общем же случае и более, чем трем) получаемым значениям неизвестных обычно довольно затруднительно, поэтому мы и рекомендуем получить сначала для заданной системы объединенное уравнение и находить невязку по нему, подставляя каждый раз найденные результаты. Величина получаемой при каждом шаге итерации невязки для всей системы будет более объективно характеризовать качество процесса. [c.260] В итерируемой системе (IV-19) вычисляется Хх по нулевому приближению, но затем это значение Хх подставляется сразу же и во вторую строку и в третью. Подобным образом вычисленное по второй строке значение х сразу же подставляется в третью, что дает возможность вычислить и значение Хз уже без участия нулевых приближений. На этом и заканчивается первый шаг итерации, ускоренный подстановкой промежуточных результатов, не дожидаясь конца данного шага, что имело место при простой итерации. [c.260] Понятно, что и второй и последующие шаги итерации по способу Зейделя выполняются аналогичным же образом. Заметим, что в действительности процесс подстановок при этом способе является, очевидно, непрерывной циклической операцией, но тем не менее различать отдельные шаги следует и в этом способе, хотя бы в целях нахождения невязок указанным выше приемом. [c.260] Это условие достаточное, но не необходимое, т. е. при соблюдении его сходимость всегда обеспечена. Но сходимость может иметь место и при невыполнении этого условия. [c.261] Известны приемы, позволяющие любую систему линейных уравнений привести к виду, обеспечивающему сходимость процесса итерации по Зейделю. Поскольку эти приемы требуют выполнения линейных преобразований матриц к нормальному виду, их целесообразно применять в случае выполнения расчетов на ЦВМ. [c.261] Вернуться к основной статье