ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение ЭВМ для решения некоторых задач алгебраического характера. Решение систем уравнений первой степени со многими неизвестными из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Еще в прошлом столетии (т. е. когда об электронной вычислительной технике никто и не думал) такой мастер приближенных вычислений, как Лоран, писал Точность приближенного интегрирования определяется главным образом терпением вычислителя . [c.253] Применяемые ныне ЦВМ обладают (по сравнению с человеком) почти неограниченным терпением, что в сочетании с чрезвычайной быстротой их работы дает высокое качество результатов. [c.253] Но еще важнее для практических целей, пожалуй, значительно более широкое,чем у АВМ разнообразие задач, реализуемых на ЦВМ. [c.253] Высокая точность вычислений на ЦВМ обусловливается практическим отсутствием влияния энергетики машины на ее работу. Здесь фактическая точность решения принципиально ограничена лишь методической правильностью алгоритмизации и программирования и числом значащих цифр (разрядностью) получаемого результата и всех промежуточных чисел, с которыми оперирует машина. [c.253] Большинство современных ЦВМ способны печатать не только (ца выходе) исходные данные и результаты, но и некоторые промежуточные результаты, если эта надобность была введена в программу. Эта способность имеет, как мы увидим, очень полезное свойство, в иных случаях сильно расширяющее практическое применение ЦВМ для исследования динамических систем. С некоторыми из таких задач мы познакомимся в дальнейшем изложении. [c.253] До недавнего времени цифровые вычислительные устройства могли оперировать лишь с числовыми значениями, т. е. заниматься только арифметикой, сводя к четырем действиям арифметики даже самые сложные вычислительные и логические задачи. По выведенным уже кем-то и как-то формулам машина могла вычислить результат для любого частного случая, но вывести эти же самые формулы (даже достаточно простые) сама не могла. Цифровая символика по силам ЦВМ, а буквенная (т. е. алгебраическая) до недавних пор — нет. [c.253] При этом невольно вспоминается то замечание, которое было высказано еще в начале текущего столетия Бертраном Расселом по поводу основ математического мышления Не легко выяснить и важность символики в рассмотрении вопроса об основаниях математики, и объяснение может показаться парадоксальным. Факт заключается в том, что символика полезна потому, что она затрудняет (это неверно по отношению к высшим областям математики, но не подлежит сомнению по отношению к началу) . [c.253] Далее Б. Рассел разъясняет, в чем именно состоит польза этих затруднений для развития математического мышления, но мы не будем следовать по пути его рассуждений, а добавим от себя следующее. [c.253] Согласимся, что символика вообще, а алгебраическая — в частности, является своеобразным барьером, который необходимо перепрыгнуть или перешагнуть, чтобы попасть в область более свободного владения вопросом и приобрести тем самым способность не только справляться с затруднениями самой символики, но и с принципиальными вопросами, решение которых без помощи символики — невозможно. [c.254] В настоящее время киевскими кибернетиками во главе с В. М. Глушковым уже сделан по крайней мере первый шаг за этот барьер. Ими разработан алгоритмический язык аналитик , предназначенный для описания вычислительных процессов с использованием аналитических преобразований. Этот язык, реализованный в ЦВМ Мир-2 , позволяет, например, решать в общем виде системы линейных уравнений, раскрывать, также в общем виде, определители до 20 порядка, производить разложение функций в ряд Тейлора, отыскивать приближенные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде ограниченного числа членов разложения искомого решения в ряд Тейлора. [c.254] Возможность передачи на ЦВМ ряда алгебраических и вообще аналитических преобразований, которые до сих пор приходилось производить от руки самому заказчику нли программисту, открывает ряд новых возможностей в исследовании динамических систем. [c.254] Все вопросы алгебраического характера, с которыми приходится сталкиваться при расчетах динамических систем, грубо говоря, можно разделить на два класса уравнения с одним неизвестным, но высокой степени и системы уравнений со многими неизвестными, но первой степени. О задачах первого класса мы здесь не будем много говорить, поскольку почти вся вторая часть этой книги была посвящена этому вопросу. Вторая же проблема — решение систем полилинейных уравнений, как мы в дальнейшем будем их называть — была сознательно отложена нами до настояш,его момента по причинам, которые будут выяснены далее. [c.254] Этот же подход будет нами выдержан и при решении систем полилинейных уравнений. [c.254] Начнем поэтому с поверки правильности решения, найденного кем-то каким бы то н,и было способом. [c.254] Подставим эти данные в каждое из уравнений и вычислим, хотя бы табличным способом, левые части этих уравнений. В действительности вычисленные значения левых частей этих уравнений не будут равны значениям свободных членов j, С2, Сз, а будут отличаться на некоторые A i = — i, причем если мы вычислим относительную погрешность,, поделив невязки A на наименьшую из величин щщ, то тогда мы сможем на этом основании судить о добротности найденных решений. [c.254] Это объединенное уравнение получается путем простого линейного преобразования уравнений исходной системы, поэтому оно должно обращаться в тождество подстановкой искомых собственных значений и, следовательно, может служить средством для объективной проверки и суждения о степени приближения найденных решений. Но, как будет видно из дальнейшего, использование этого приема этим свойством не ограничивается. [c.255] Систематическое осуществление этой работы можно провести так. [c.255] Смысл этого приема состоит в том, что если получающиеся при каждом шаге описанных операций невязки н е возрастают, а убывают или, по крайней мере, сохраняют свой порядок, то получающиеся при каждой такой операции поправки в собственных значениях действительно уточняют искомые результаты. [c.255] Так как вычисления при этом могут быть многочисленны (хотя и однообразны), то в иных случаях целесообразно прибегнуть к графическим пpиe laм, т. е. обойтись и без всяких вычислений. [c.255] Способ этот может быть распространен и на любое конечное число переменных. Хмысл же его заключается в подготовке читателя к возможности применения чисто геометрических соображений и приемов для другой, гораздо более важной операции, а именно для исключения любой неизвестной из пары уравнений со многими неизвестными. Для краткости и ясности покажем это на простейшем примере всего двух уравнений с двумя неизвестными. [c.256] Вернуться к основной статье