ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пример физического моделирования и осложнения, здесь возникающие из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Здесь для У1 (первая строка) приведены значения вычисленные по формуле, полученной в результате аналитического решения (интегрирования Эйлерова дифференциального уравнения классическим образом). Во второй строке — значения i/ц, определенные Эйлеровым приближенным способом в конечных разностях и, наконец, в третьей —ущ — значения, полученные по способу Ритца, Kai видно, сходимость результатов всех трех приемов получилась вполне удовлетворительной, несмотря на то. что приближенная формула степенного полинома, полученная -по способу Ритца. по внешнему виду совсем не похожа на ту зависимость, которая была получена в результате точного решения интегрированием дифференциального уравнения Эйлера. [c.243] Этот факт наводит нас на мысль о том, что для приближенного решения можно было бы задаться и другими зависимостями ф (х) в способе Ритца, получив при этом все же приемлемые результаты. [c.243] В общем же по всем трем рассмотренным приемам необходимо соблюсти одно существенное условие, а именно аналитический вид зависимости Р у, у, х), связывающей производную искомой функции, саму функцию и аргумент и притом такую, чтобы она допускала наличие непрерывной производной. Об этом следует помнить. [c.244] Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244] Классическое вариационное исчисление не занималось непосредственно решением задач оптимизации с учетом технических ограничений. Учесть их, тем не менее, возможно, достаточно лишь произвести некоторую модификацию классических методов. [c.245] При наличии ограничений экстремум функционала достигается на смешанной кривой, составленной из участков экстремалей (т. е. решений уравнений Эйлера) и участков границы области. [c.245] Эта теорема, позволяющая находить экстремум и в замкнутой области была впервые сформулирована русским математиком Надеждой Гернет в 1913 г., а затем (независимо от нее) еще раз подтверждена американским математиком Валлентайном в 1937 г. Н. Гернет установила и условия в точках сопряжения экстремалей и границы допустимой области за исключением некоторых особых случаев, это сопряжение должно происходить плавно, без излома, в точке сопряжения производные равны у = ф. [c.245] Надо отметить, что в 1956—1961 гг. академиком Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками был предложен еще один метод решения задач на экстремум в замкнутой области, называемый принципом максимума . Этот метод — очень общий, так как он позволяет решать и ряд особых задач (в которых функционалы линейны относительно управления), важных для теории автоматического управления и в то же время с трудом поддающихся решению классическими методами. Для таких задач принцип максимума особенно удобен. В то же время именно вследствие своей общности этот метод слишком громоздок для решения наиболее часто встречающихся задач линейного характера. Для решения же линейных задач с ограничениями наиболее удобно пользоваться модификацией классических вариационных методов, использующих обобщенную теорему Эйлера и преобразование переменных, предложенное Н. Гернет. В настоящее время этот прием широко используется Ю. Н. Петровым в его многочисленных работах по оптимальным методам автоматического управления электроприводом. [c.245] Кроме методов и приемов классического вариационного исчисления, с простейшими из которых мы познакомились выше, за последние годы разработаны и другие приемы, из которых мы остановимся здесь лишь на способе Беллмана, хотя бы вследствие его идейной простоты. [c.245] Попытаемся выяснить идею способа Беллмана на простом конкретном примере парусных гонок (см. [c.245] Прежде всего несколько упростим и идеализируем задачу будем считать, что она состоит в том, чтобы за минимальный промежуток времени пройти из точки А в точку В (хотя на самом деле эти точки следует обогнуть). Положим затем, что при известных внешних условиях (распределении скоростей ветра и течений) минимальное время (реально достижимое) зависит только от координат точек А и. В. [c.246] Заметим, что найти численное значение этого времени и соответствующую ему траекторию вовсе не так просто. На первый взгляд для этого необходимо перебрать все возможные варианты траекторий движения, для каждой из них определить соответствующее время и выбрать наилучший вариант. [c.246] Выполнить это практически невозможно, так как число вариантов — бесконечно велико. Попытаемся преодолеть эту трудность, заменив непрерывное, по сути дела, простран ство квантованным дискретным, , т. е. считая, что повороты могут происходить не где угодно, а только в определенных точках водной поверхности. [c.246] Решим сперва следующую задачу, хотя она на первый взгляд и может показаться сложной. [c.247] Зафиксируем точку В и будем перемещать точку А в одну из точек йц, в которых возможны изменения курса.. Для каждой из этих точек будем вычислять минимальное время T перехода в конечную точку. При этом мы получим и решение поставленной ранее задачи как частный случай, когда a = А. Оказывается, решение более общей задачи, т. е. отыскание оптимальной траектории для любой из п точек плоскости, проще, чем для какой-либо одной определенной точки. [c.247] Время Тц, необходимое для перехода из точки ац в точку В при оптимальном управлении, зависит только от начальных условий, т. е. от координат начальной точки и. скорости движения в начальный момент времени. Для простоты рассуждений не будем пока принимать во внимание зависимость Тц от начальной скорости, тогда оно будет зависеть только от номера начальной точки. [c.247] Начнем наши вычисления с точек п, п-1 и а 1, , отстоящих от конечной точки В всего на один шаг . Вычисление -1 и Г 1, несложно, так как траектория перехода из а , 1 в В и из А 1, в В — единственна. [c.247] Резюмируя все это, скажем, что принцип оптимальности Беллмана состоит в том, что оптимальная траектория движения системы не зависит от предшествующего движения системы, а зависит только от начальных условий и от оставшегося времени и расстояния до конечной точки. [c.247] При использовании для конкретных целей исследования свойств систем автоматического регулирования любых из рассмотренных нами методов следует иметь в виду, что во всех случаях было бы желательно подтвердить экспериментально результаты, полученные аналитически. [c.248] К сожалению, приходится констатировать, что в большинстве случаев осуществить такие эксперименты, воспроизводящие в натуре условия, предположенные при проектировании, например сброс и наброс полной нагрузки, весьма затруднительно, а иногда даже и недопустимо в эксплуатационных условиях. [c.248] Вернуться к основной статье