ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о приближенных прямых методах простейшего решения некоторых вариационных задач. Способы Эйлера и Ритца. Примеры из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " При рассмотрении такой проблемы будем исходить из простейших и уже известных нам математических представлений. [c.238] Это и является необходимым условием наличия экстремума. Но этого мало, и для существования относительного экстремума в точке х должно быть еще и д о-статочное условие, состоящее в том,- что если функция / (х) имеет п последовательных производных, причем (п —1) из них равны нулю, а п-я не равна нулю, то должен быть экстремум (максимум или минимум), смотря по тому, отрицательна или положительна эта п-я производная. [c.238] Из всего этого следует, что нахождение экстремальных значений функций как в случае функции одной переменной, так и в более сложном случае —функции многих переменных (даже если допускаются и побочные условия, как мы видим) может быть осуществлено некоторым, по сути дела, единым подходом к вопросу. [c.239] Подобно тому, как геометрической интерпретацией функции является соответствие одного точечного множества другому точечному множеству, причем каждой точке первого множества соответствует одна или несколько точек другого, геометрической же интерпретацией функционала может служить соответствие множеству функций точечного множества, причем каждой функции первого множества соответствует точка второго. Короче говоря, если функция противопоставляет или связывает число с числом же, то функционал связывает число с функцией, т. е. с множеством чисел. [c.239] Поясним вышеизложенное некоторыми простыми примерами чисто геометрического характера. [c.239] Ответом или решением этой в а-риацйонной задачи будет уже некоторая функциональная зависимость (или зависимости), обеспечивающая экстремум функционала / (X). Из этих кратких рассуждений следует, что мы здесь сталкиваемся с нахождением условий, когда приходится искать максимальное или минимальное значение определенного интеграла (одно- или многократного в общем случае), где искомая зависимость и ее производная входит под знак интеграла. [c.240] конечно,отличается существенно по самой постановке вопроса от тех задач дифференциального исчисления, с которых мы начали изложение настоящего параграфа, и теперь надлежит выяснить, насколько это различие скажется и на средствах или приемах практического (хотя бы и приближенного) решения этих новых по типу задач.. [c.240] ЧТО И НОСИТ название Эйлерова дифференциального уравнения, которое имеет особо важное значение для решения некоторых вариационных задач в общем, аналитическом виде. Но если исходить из существования и непрерывности частных производных первого порядка, то приближенное решение задачи в числах (а не в общем аналитическом выражении) может быть получено и без использования этого орудия, что мы сейчас и. покажем на некотором численном примере очень простого характера. [c.241] Ритц показал, что для нахождения экстремума этого функционала должны быть равны нулю все частные производные по С , т. е. [c.242] Вернуться к основной статье