ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование ортогона Лилля для отыскания периодических решений из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Таким образом мы получили линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, величина которых в общем случае зависит от двух параметров o и со. Для отыскания периодического решения исследуемой нелинейной системы необходимо определить эти параметры так, чтобы уравнение (IV-7) имело пару сопряженных чисто мнимых корней. Поскольку при этом система, описываемая уравнением (IV-7), находится на границе устойчивости, для решения задачи используют известные из линейной теории автоматического регулирования критерии устойчивости. [c.232] Во второй части был описан простой и эффективный графический критерий устойчивости линейных систем при помощи ортогона Лилля. Совершенно очевидно, что и на основе этого критерия может быть разработан способ определения автоколебаний гармонически линеаризованных систем. [c.232] Очевидно, что поскольку линеаризованная система с характеристическим уравнением (1У-8) неустойчива при всех а, не удо) летворяющих условию (1У-9), то и искомые амплитуды периодического решения следует искать только среди тех а,-, для которых определена функция г (а). [c.233] Коэффициент гармонической линеаризации нелинейно го элемента в функции амплитуды колебаний задан в виде графика на рис. 1У-27. Такой способ задания удобен тем, что позволяет использовать и экспериментально снятые характеристики нелинейного элемента. [c.234] Так как функция g (а) имеет экстремум, то отыскание амплитуды периодического решения целесообразно провести в два приема, т. е. сначала обследовать участок [0,05 0,07], а затем участок [0,07 0,5 ]. Зададимся значением а, соответствующим границе исследуемого участка. Пусть для определенности а = 0,07. Далее на листе клетчатой бумаги строим ортогон Лилля для нашей системы при данном с. Поскольку коэффициенты ао=1иа1==а1не зависят от а, построение их ведется обычным образом. Построение сторон ортогона, соответствующих остальным коэффициентам, осуществляется при помощи циркуля или обычной линейки следующим образом по графику рис. 1У-28 определяется значение Оа (а), соответствующее а = 0,07, и откладывается на ортогоне от конца отрезка ах перпендикулярно ему. Со всеми остальными коэффициентами поступают подобным же образом. В результате этих операций и получаем ортогон Лилля, соответствующий выбранному пробному значению а и изображенный на рис. 1У-29. [c.234] По окончании описанных выше операций следует задаться следующим пробным значением а, соответствующим уже другой границе исследуемого участка, т. е. а = 0,05, и повторить весь процесс, причем построения удобно вести на тех же чертежах, что и сделано на рис. 1У-29—1У-31. Выбор следующего пробного значения а зависит от знаков полученных значений функции г (а). Если знаки этой функции на границах исследуемого участка одинаковы, то наиболее целесообразно применить метод половинного деления, т. е. поделить исследуемый участок пополам и взять среднее значение а. Этот метод удобно использовать до тех пор, пока не будут получены разные знаки функции г (а) для двух соседних пробных а или пока не появится уверенность в том, что такой перемены знака не будет, и, следовательно, периодическое решение с амплитудой, значение которой лежит в данном интервале, отсутствует. [c.235] Получив таким способом три-четыре точки, целесообразно для сокращения работы применить криволинейную интерпол щию, как показано на рис. 1У-31. Таким образом мы получаем как функцию г (а) в графическом виде, так и решение уравнения г (а) = О, т. е. амплитуду искомого периодического решения. [c.236] До сих пор мы рассматривали системы с однозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых не зависят от частоты. Однако рассмотренный прием может быть обобщен и на случай систем с неоднозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых могут быть функциями не только амплитуды, но и частоты, В этом случае коэффициенты гармонически линеаризованного уравнения также будут функциями двух переменных а и ( ). Однако если выразить частоту (й через амплитуду а при помощи системы уравнений (IV-10), то коэффициенты а,- вновь можно рассматривать как функцию только амплитуды а и использовать для ее определения уже рассмотренную методику. [c.236] В заключение заметим, что ортогон Лилля наиболее целесообразно использовать для решения гармонически линеаризованных уравнений в том случае, когда коэффициент гармонической линеаризации определяется графическим способом по экспериментально снятой характеристике нелинейного элемента. [c.236] Вернуться к основной статье