ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Прочие свойства фазовых портретов нелинейных систем особые отрезки, предельные циклы, сепаратрисы — IV-12. Методы построения интегральных и фазовых кривых для нелинейных систем из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Но так как теперь й О, то с уменьшением ф (и при возрастании, следовательно, t) будет возрастать (рис. IV-10), т. е. ход спиралей будет обратным тому, что мы имели при Л 0. Изображающая точка, двигаясь по интегральной кривой, удаляется от состояния равновесия (особой точки X — О и у — 0). [c.222] Эта особая точка поэтому носит название неустойчивого фокуса и предопределяет на фазовой плоскости наличие фазовых портретов в виде вложенных друг, в друга логарифмических спиралей, раскручивающихсянеопределенно далеко, что характеризует неустойчивый колебательный процесс ( раскачку ) с определенным инкрементом нарастания амплитуды. [c.222] Наконец рассмотрим систему линейную без трения, но с отрицательным статизмом (отталкивающей силой). [c.223] Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225] Как ни условна подобная аналогия, все же она несколько поможет нам схватить смысл простого по форме, но довольно тонкого, по сути дела, определения устойчивости по Ляпунову. Пусть система находится в равновесии. Это означает, что изображающая точка находится в какой-либо из особых точек фазовой плоскости —скажем, в точке х = О, у = О, т. е. в начале координат О. [c.225] Если же может быть указана такая область 8 отклонения от состояния равновесия, для которой н е существует области б ( ), окружающей состояние равновесия и. обладающей указанным свойством, то такое состояние равновесия неустойчиво. [c.225] Следует сказать, что эти формулировки устойчивости в малом эффективны для линейных систем, для нелинейных же дело обстоит сложнее, как это можно видеть из анализа первых фазовых диаграмм для нашего частного примера и как мы убедимся впоследствии. [c.225] Нелинейные задачи много богаче своими возможностями тех, которые мы решали в рамках линейной теории. [c.225] Такие кривые называются сепаратрисами. В данном случае сепаратрисы отделили внутреннюю область устойчивых колебаний (особая точка типа центра) от четырех внешних (особые точки типа седла ), где векторное поле отбрасывает изображающую точку все дальше и дальше от состояния равновесия. [c.226] Академиком А. А. Андроновым было установлено [2], что появление особых точек типа седло и узел на фазовой плоскости обусловлено чисто энергетическими обстоятельствами, а именно наличием максимума потенциальной энергии системы, в то время как при минимуме потенциальной энергии имеет место появление особых изолированных точек типа центр . [c.226] Здесь мы познакомимся с методом изоклин и приемом Льенара, пригодными для построения фазовых кривых [18]. [c.226] Эта операция идет довЬльНо быстро, но само построение изоклин требует вычислений многих точек, почему подготовительная операция является довольно трудоемкой. [c.227] чтобы получить направление касательной к искомой фазовой траектории, в какой-либо точке А с координатами (х, у), строим (рис.1У-21) кривуюл =—ф (у) (кривая ВК) и затем проводим из А прямую, параллельную оси Ох, до встречи с кривой ВК в точке В с координатами [—ф (у), у]. [c.227] Поэтому, найдя указанным способом направление фазового поля в этой точке, заменяем элемент фазовой траектории в окрестности точки Л отрезком касательной, проведенной через точку Л в надлежащем направлении, после чего в конце полученного отрезка снова находим тем же способом направление поля и т. д. [c.227] Заметим, что этот способ, разработанный Льенаром несколько десятков лет спустя графических тяговых расчетов, изложенных нами во введении к этому разделу курса, покрывается этим последним способом и каких-либо особых преимуществ не имеет. [c.228] Вернуться к основной статье