ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Продолжение — случай комплексных сопряженных корОсобенности определения корней и постоянных из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " как во всяком итерационном способе, остатки могут и не стремиться к нулю, и это будет являться признаком расходимости вычислений. [c.112] Существуют еще методы компенсации остатков. В сущности основой этого итерационного приема опять-таки являются те же самые уравнения для табличного деления. [c.112] Рх ДЛ Сг АВ Р2, с помощью которых могут быть найдены новые значения Лх=Л+ДЛ и Вх=В + ДВ. Беря теперь значения Лх и В пересчитываем значения коэффициентов сир снова определяем ДЛх и ДВх. Так следует поступать до тех пор, пока коэффициенты р1 и р2 не станут пренебрежимо малы по сравнению с остальными. [c.113] Способ этот требует больше труда для каждого шага итерации, чем описанный выше способ хвоста , но нельзя сказать, чтобы он обеспечивал быструю сходимость и даже вообще сходимость во всех случаях. [c.113] Воспользуемся следующим простым и наглядным средством выражения найденного нами решения (т. е. [c.113] Как видно, процесс итерации не привел к решению поставленной задачи. [c.113] Вг = 2,5 и Лд = 4, Вд = 5 (заметим, что это доказывает наличие только комплексных корней), и, следовательно, мы можем представить их в виде звездочек на плоскости Л, В. Сделаем это и попробуем истолковать результаты. [c.114] С некоторой натяжкой будем понимать процесс итерации (при каждом шаге) в виде какого- о прыжка точки из одного положения Л, В в другое, соседнее Л, В под действием двух категорий сил тех, которые тянут к себе эту точку (эти центры притяжения находятся в точках, определяемых истинными значениями Л, В), и помех , отклоняющих нашу блуждающую точку Л, В во время прыжка, причем силы эти возникают вследствие неизбежных ошибок вычисления, округлений и т. п. [c.114] Каждый из центров притяжения тянет к себе движущуюся точку одновременно, поэтому и имеет место то явление проскакивания истинного положения, которое ясно видно на рис. П-31. Таким образом, при приближении изображающей точки к одному из истинных значений А ,Вх влияние всех остальных истинных значений как центров притяжения, становится помехой, к тому же весьма мощной по сравнению с влиянием других помех (ошибок вычисления) и соизмеримой с силой притяжения к точке АхВ . Невозможно заранее сказать по коэффициентам заданного полинома, в какой мере будут сильны влияния всех этих факторов, но результаты этих влияний вполне реальны и заставляют вычислителя оставить попытки после того, как он убедится в величине возрастающего разброса , что обнаруживается не сразу —в нашем случае на восьмом шаге. [c.114] В р = —для шестой степени и = Vй4, —для четвертой. [c.115] Найденные таким образом значения А и В откладываем в виде точек и соединяем их с началом координат. Получим, как видно, всего пять лучей, крайние из которых образуют сектор, ограничивающий некоторую площадь, внутри которой и находятся все три искомых истинных значения коэффициентов Л и В квадратных трехчленов. Все описанные здесь операции должны быть осуществлены до того, как приступим к поискам собственных значений, так как они сужают область этих поисков. Отсюда ясно, что на основании этих простых соображений, задача установления области существования решений вовсе не является такой неопределенной, как это казалось на первый взгляд. [c.115] Функции эти, очевидно, не дают (каждая в отдельности) требуемого решения, но содержат его. Кривая, построенная на плоскости Л, В для каждой такой аналитической зависимости В (Л) является геометрическим местом точек, среди которых непременно должны находиться и такие, которые удовлетворяют нашей системе исходных уравнений. [c.116] Теперь перейдем к случаю поисков решений для полинома шестой степени, используя тот же прием получения и оценки проб при помощи субрезольвент. [c.117] Исключая при помощи трех Последних уравнений (IV—VI) величину С4 тремя отдельными и независимыми способами, мы должны будем далее освободиться и от с2 и с , чтобы получить требуемые зависимости, содержащие уже только Л и В. Все эти.зависимости и будут субрезольвентами, но все они будут уже неявны-ми функциями. [c.118] Задаваясь пробными значениями В, мы вычислим коэффициенты в первом случае квадратного, во втором — кубичного уравнений, которые и придется решить в первом случае общеизвестным способом, а во втором — способом Горнера, что мы уже умеем. [c.118] Из уравнения квадратичной субрезольвенты относительно В следует, что при Л = йг/3 мы имеем для В асимптоту в виде вертикальной прямой, проходящей через точку а /З затем устанавливаем верхнюю границу для В = а /аг, большей которой эта величина для данных условий не может быть. Заметим, что на самом деле нет надобности в отыскании путем субрезольвент всех трех искомых решений достаточно, найдя одно, проверить его подстановкой Л и В в уравнения деления и тем самым получить и частное в виде полинома уже четвертой степени. Решать эту задачу будет уже проще. [c.118] С другой стороны, мы знаем, что наименьшее собственное значение Л должно быть меньше Л 0 /2, что позволяет нам провести вторую вер- тикаль. Мы знаем также, что наименьшее значение В не может быть больше У а4 = 15 = 3,87. Проводим горизонталь В = 3,87. [c.118] Вернуться к основной статье