ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Простой графический прием для нахождения действительного значения одного из корней уравнения третьей степени из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Мы будем понимать всюду в дальнейшем изложении под термином нормирование г-го коэффициента (или нормирование по х ) операцию, которая приводит в результате к равенству единице этого коэффи-цие(нта. [c.102] Тогда если мы имеем характеристическое уравнение для х (уже нормированное по х ). [c.102] Нетрудно сообразить, что, принимая за коэффициент нормирования к в линейной подстановке х = кх значение корня п-й степени из численного значения свободного члена, мы получаем в результате соответствующих алгебраических операций такое уравнение, у которого не только коэффициент при старшем члене, но и свободный член будут равны единице. [c.102] Такая операция дает наименьший разброс коэффициентов для данного преобразованного уравнения, и не имеет смысла пытаться какими бы то ни было подстановками или приемами подавить еш,е более этот разброс. [c.103] Мы уже выяснили, как при таком нормировании меняются корни. Теперь рассмотрим, как изменятся коэффициенты квадратного трехчлена, если мы заданное уравнение четной степени собираемся решать не отделением корней, а разложением на произведение квадратных трехчленов вида + А х + Б,). [c.103] Несмотря на то, что в предыдущих главах мы достаточно подробно рассматривали свойства простейшего колебательного звена, тем не менее возможности, открываемые нормированием по последнему члену, требуют возвращения к этому вопросу. [c.103] Особенно наглядно это обобщение видно на рис. 11-25, где показаны три характерных случая, графически выраженные ортогонами Лилля, у которых только одна средняя сторона гпх = а кд отличается от других. [c.103] Но этого значения уже вполне достаточно для того, чтобы определить не только природу и значение обоих корней, а следовательно, и коэффициентов данного квадратного трехчлена, имеющего эти корни и 1г. но и значения коэффициентов всех квадратных трехчленов или уравнений второй степени, имеющих корни, подобные найденным, т. е. [c.103] Хотя для различных значений k feo. мы будем иметь чрезвычайно большое разнообразие коэффициентов UI и а2. [c.104] Следует упомянуть также и о той подстановке, которая применяется для подавления любого члена (кроме первого и последнего) характеристического уравнения любой степени. [c.104] Искомое уравнение имеет вид г — 22 + 4 = 0. [c.104] Действуя на основании подобных же соображений, можно в любом характеристическом уравнении сделать любой (кроме крайних ) из коэффициентов равным нулю, но при этом никогда все корни не могут быть отрицательными, как это явствует из формул Вьета. [c.104] Теперь мы можем написать выражение для переходного процесса, т. е. частного интеграла исходного дифференциального уравнения с правой частью при нулевых начальных условиях и единичном неисчезающем возмущении х (t), как для ненормированной системы, так и для нормированной . [c.105] Иначе говоря, масштабы времени выражений (11-27) и (П-28) отличаются в к раз. [c.105] Все это справедливо по отношению к простейшему случаю, т. е. к передаточной функции звена или системы второго порядка. Тем не менее выводы эти могут быть распространены и на более общий случай системы п-го порядка, так как это повлияет только на число слагаемых в выражениях (П-27), (П-28), а не на характер выводов. [c.106] Возвращаясь опять к простейшей колебательной системе, заметим, что характер колебательного процесса существенно связан с двумя параметрами времени периодом колебаний Т и постоянной времени затухания т. Обе эти величины, как мы знаем, существенно связаны с корнями характеристического уравнения, а следовательно, и с его коэффициентами. Исследуем теперь эти соотношения для обеих систем, как и выше. [c.106] Чтобы убедиться в этом факте и для более сложного случая системы четвертого порядка, вспомним, что исследование этих и более сложных систем мы осуществляли путем разложения уравнений четных степеней на квадратные трехчлены. Этот прием мы используем и здесь. [c.106] Это означает, что хотя нормирование по свободному члену и изменило соответственным образом значения и периодов, и постоянных времени, но оно не повлияло на отношение этих величин друг к другу, т. е. характер процесса остался тем же самым. [c.107] То же самое можно было бы установить и для систем более высокого порядка. [c.107] Хотя изложенные выше соображения для определения действительного корня уравнения любой степени должны быть справедливы и для уравнения третьей степени. Это последнее встречается настолько часто, что целесообразно познакомиться с таким способом, который позволяет найти первое (грубое) приближение искомого корня почти без всяких вычислений. Этот предлагаемый автором способ основан на одном простом алгебраическом преобразовании и двух давно известных геометрических приемах, которые можно было бы назвать графическими способами параболической и гиперболической интерполяции. С изложения этих вспомогательных приемов мы и начнем. [c.107] Вернуться к основной статье