ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрический смысл деления целого многочлена п-й степени на линейный двучлен по схеме Горнера. Ломаная, или ортогон Лилля из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " Общие соображения о характере задачи. [c.92] Особенности и ограничения в постановке задачи. [c.92] Рассмотрим приемы и способы решения не вообще алгебраических уравнений любой степени, а только характеристического полинома и притом при соблюдении некоторых жестких условий, которые характерны для динамических систем. [c.92] Изложение наше мы начнем не с выводов интересующих нас вычислительных приемов для нахождения численного значения корней, а с установления приемов проверки правильности уже найденных решений. [c.92] Действительно, всякое найденное нами каким бы то ни было способом решение (даже таким совершенным способом, как решение на современных электронно-вычислительных цифровых устройствах или машинах) нуждается в проверке, т. е. установлении того факта, что подстановка найденного численного решения в исходное, решаемое уравнение действительно превращает уравнение в тождество 0=0, либо дает невязку приемлемого порядка малости. Этим мы, конечно, не столько контролируем правильность действия счетно-вычислительного устройства (предполагая его действующим безукоризненно), сколько проверяем правильность ввода численных значений задачи, осуществляемого человеком — программистом, действия которого не лишены ошибок. При ручном выполнении необходимых вычислений надобность проверки полученных результатов не вызывает сомнений и не нуждается в доказательствах. [c.92] Покончив с этими оговорками, мы перейдем к поставленной выше задаче, обращая внимание не столько на сам пример, сколько на те затруднения, которые возникают при решении и при выборе приемов устранения этих затруднений. [c.93] Р (—1) имеет знак, отличный от знака f (—2). то делим пополам интервал —1 а —2, середина которого будет л = —1,5 и т.д.. [c.93] Это приближение требует опять-таки двух подстановок заданного значения, а именно в функцию Р (х) и в производную р (х), так что вычислений здесь немного меньше, чем в способе хорд. [c.93] Не ВХОДЯ в критику строгости и применимости этих приемов в различных случаях, мы видим, что все они требуют простых и удобных приемов для нахождения численных значений целой рациональной функции для заданных значений аргумента, и причем многократных. [c.94] Таким наиболее универсальным и удобным приемом вычислений является так называемая схема Горнера—Руффини, применение которой мы покажем на простом примере многочлена третьей степени. [c.94] Выгодной особенностью этого приема является то обстоятельство, что, как читатель мог заметить,, мы во всех случаях находим произведение с одним и тем же сомножителем Xi, что особенно удобно осуществляется на верхней шкале логарифмической линейки. Само же вычисление осуществляется по следующей схеме (табл. П-2), что мы покажем на примере для значения х = —4. Выписываем в строку только одни численные значения коэффициентов уравнения (П-18) с их знаками. [c.94] Выписав коэффициенты а, в первую строку на одном листе бумаги, мы берем другой лист бумаги и, приложив его под первой строкой, осуществляем все вычисления до конца (строки 2-я и 3-я) на этом накладном листе. Получив результат — остаток —7918,318 = Р (—4), мы сгибаем исписанную часть накладного листа по линии NМ м следующий этап вычисления для х = = —2 производим, прикладывая оставшуюся чистую часть накладного листа к написанным уже коэффициентам, действуя так, как указано выше. Получив новый остаток, мы опять убираем его сгибанием исписанной части, и таким образом, мы освобождаемся от необходимости переписывать одни и те же числа, остающиеся неизменными, столько раз, сколько новых значений аргумента X нам потребуется. [c.95] Доведя все вычисления до конца и развернув потом этот накладной лист, мы получим систематическую запись всех произведенных вычислений, позволяющую легко осуществить и контроль этих вычислений. Доказано, что схема Горнера является процессом, требующим минимального количества счетных операций и записи для данной задачи. В американской практике приближенных вычислений или прикладного анализа имеется даже условный термин один Горнер — мера сложности любой вычислительной операции, вообще не связанной обязательно с вычислением численного значения целой рациональной функции. Дальше мы увидим, насколько универсальны и обширны применения этой схемы вычисления, а сейчас вернемся к нашему примеру. [c.95] По данным вычислений мы вправе утверждать, что значение корня лежит где-то между —1,62 и —1,625, но подтвердить это проверкой мы не можем. [c.95] Пусть мы собираемся проверить, является ли значение х ——1,622 истинным корнем предложенного уравнения. [c.95] Положим 1,622 = (1,62 + 0,002), и вообще в этом способе выгодно пробное значение разбить на два слагаемых, из которых первое (большее по величине) надежно определяется по линейке, а второе (Ах = 0,002) должно быть, во-первых, мало, а во-вторых, должно быть круглой цифрой, также легко определяемой на линейке или допускающей даже умножение в уме — порядок ее безразличен. Тогда мы можем прибегнуть к так называемой обобщенной схеме Горнера для поправки Ах, т. е. вычислить коэффициенты нового полинома, пользуясь значениями остатков при подстановке Ах в Р (х), т. е. Р (Ах). Возвращаясь к нашему примеру, составляем следующую схему (табл. П-З), применяя известный нам прием Горнера не один раз, а последовательно по всей строке остатка, получаемой в результате вычитаний известных нам произведений Ах-с . [c.95] В процессе поисков корня х = = —1,622 мы имеем достаточно данных для того, чтобы построить график функции в интересующем нас диапазоне (что и предоставляется сделать читателю), из которого видно, что эта кривая пересекает только один раз ось X в точке х = —1,622. Поэтому есть основание полагать, что полученное нами уравнение шестой степени не будет иметь вовсе вещественных корней. [c.96] Возвращаясь к вопросу вычисления корней характеристического уравнения с необходимой степенью приближения, мы уже видели, что для этой цели могут быть использованы различные приемы. Рассмотренный выше пример был решен одним из способов, хотя, конечно, можно было применить и любой другой способ. Но во всех случаях на определенном этапе вычислений мы обязательно столкнемся с необходимостью определения двух десятичных дробей XI и Х2 с одинаковым числом десятичных знаков т, отличающихся только на одну единицу последнего разряда и при которых / ( 1) и (ха) имеют различные знаки. Тогда истинное значение корня х лежит между х, и Ха, и погрешность в определении х при этом не превосходит Ю . [c.96] можно сказать, идеально благоприятный случай, так как если желательно вычислить дальнейшие т + , т + 2 и т. д.) знаки, то можно к Хх с правой стороны приписать цифры от 1 до 9 и из полученных таким образом чисел снова выбрать такие два числа 811 и 81 а, для которых Р (ец) и Р (е а) имеют разные знаки. Эти возможности ограничиваются только вычислительными средствами. [c.97] как видно, мы принуждены выписывать массу лишних цифр и символов (считая и перемену знаков), в то время как система уравнений (П-20) позволяет нам получить тот же результат при минимальном количестве операций и записей их, что, во-первых, экономит время, во-вторых, сокращает возможность возникновения ошибок при переписывании лишних, по сути дела, символов и цифр. [c.98] Вернуться к основной статье