ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона Теорема единственности решения задач теории упругости Принцип Сен-Венана из "Механика сплошной среды. Т.2 " В 3 и 4 дано решение двух простейших частных задач теории упругости. Теперь обратимся к общей теории, касающейся широкого круга задач теории упругости. [c.341] Многие важные задачи теории упругости являются статическими, т. е. задачами, в которых требуется найти распределение перемещений и напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесии под действием заданной системы внешних сил или при других заданных внешних условиях. Очевидно, что главный вектор и главный момент системы внешних сил, приложенных к упругому телу, в этом случае равны нулю. [c.341] В теории упругости рассматриваются и динамические задачи, например задачи о колебаниях упругих тел. [c.341] Рассмотрим следующие три типичные статические задачи теории упругости, которые отличаются друг от друга видом граничных условий. [c.341] Указанные задачи рассмотрены ниже при следующем дополнительном предположении, которое входит в их постановку. Принимается, что при определении компонент тензора деформаций начальное состояние сравнения является действительно осуществимым состоянием, по отношению к которому можно ввести перемещения. Если выбор начального состояния диктуется какими-либо физическими условиями (например, условием, что начальное состояние должно быть ненапряженным), то это допущение можно трактовать как характеристику технологии изготовления изучаемых образцов и тел. [c.342] Отметим, что в задачах о равновесии и движении упругих тел (за исключением задачи вида II, когда заранее задаются перемещения границы) поверхность деформируемого тела, на которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако в линейной теории упругости предполагается, что деформированная поверхность тела мало отличается от его начальной недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая малыми второго порядка, можно считать, что граничные условия должны выполняться на недеформированной, а следовательно, известной поверхности (см. гл. VII т. 1). Именно так мы поступали при решении задач о простом растяжении бруса и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и внешнего давлений. [c.342] При решении задач теории упругости можно использовать различные эквивалентные системы уравнений, которые рассматриваются подробно ниже. Отметим, однако, сразу, что эти различные системы представляют собой записанные в разных формах уравнения импульсов, закон Гука и уравнения совместности (к этим уравнениям, в случае необходимости, добавляются уравнение неразрывности и уравнение притока тепла). [c.342] Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342] О постановке задач в перемещениях. [c.342] Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5.1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом решить задачу теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, выражающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. [c.343] Эти три уравнения содержат вообще шесть неизвестных компонент тензора напряжений и составляют незамкнутую систему. В некоторых случаях, например из симметрии задачи, можно заранее заключить, что в уравнения (5.2) входят только три неизвестные компоненты напряжений, а остальные известны или равны нулю. Тогда система (5.2) может рассматриваться отдельно, независимо от закона Гука. Если на границе известны Рп, то В этом случае можно найти напряжения, пользуясь только уравнениями (5.2). Такие задачи называются статически определимыми. [c.343] В общем случае система (5.2) не замкнута. [c.343] Аналогичные уравнения для движущегося упругого тела получаются, если заменить роР в (5.3) через ро F—а) (к массовым силам добавляются силы инерции, а — ускорение точек среды относительно инерциальной системы координат). [c.344] Таким образом, каждая из компонент тензора напряжений в случае постоянной температуры и постоянных объемных сил является бигармонической функцией, а первый инвариант тензора напряжений — гармонической функцией. [c.344] например, с помощью решений рассмотренных выше двух задач о растяжении бруса под действием равномерно распределенных по его торцам сил и о растяжении бруса под действием его веса можно сконструировать решение задачи о растяжении тяжелого бруса силами, равномерно распределенными по его торцам. [c.345] Действительно, рассмотрим, например, задачу о равновесии тонкого заделанного на одном конце прямоугольного стержня под действием силы, приложенной на другом его конце (рис. 115). В этом случае при достаточно большой силе Р возможно неединственное решение задачи. Стержень может остаться прямолинейным или изогнуться, например, так, как показано на рис. 115. [c.346] Перемещ,ения частиц стержня из положения а в положение Ъ (и, в частности, относительные повороты) будут конечными. Неединственность решения задачи в этом случае связана с неустойчивостью рассматриваемой упругой системы, проявляюш ейся при достаточно большой величине приложенной силы. Оказывается, что возможно несколько положений равновесия, но не все они устойчивы. [c.346] Это равенство, когда и —мысленное бесконечно малое смещение, можно рассматривать как уравнение принципа возможных перемещений в теории упругости, эквивалентное системе уравнений (5.7). [c.347] Это равенство представляет собой теорему Клапейрона для среды, подчиняющейся закону Гука. [c.348] Вернуться к основной статье