Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама
До сих пор мы рассматривали только статические свойства систем. На самом деле, как мы уже отмечали выше, свойства отдельных элементов системы описываются дифференциальными уравнениями.

ПОИСК



Ошибки способа конечных разностей. Уточнение решения внутри рабочего шага. Прием Рунге—Кутта. Применение метода к более общему случаю— решению системы нескольких уравнений первого порядка

из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем "

До сих пор мы рассматривали только статические свойства систем. На самом деле, как мы уже отмечали выше, свойства отдельных элементов системы описываются дифференциальными уравнениями. [c.38]
Покажем, что свойства системы, характеризуемые дифференциальным уравнением первого порядка, могут охватывать довольно широкую область физических явлений, встречающихся в практике исследования динамических систем. [c.38]
Согласно теореме Кенига, эта элементарная работа должна равняться элементарному же приращению кинетической энергии Е, т. е. Е = = Л. [c.38]
Но так как скорость у является первой производной пути по времени т. е. [c.39]
Эти соображения придают известную общность нашим дальнейшим рассуждениям и выводам. [c.39]
по причине большей наглядности и быстроты операций, рассмотрим здесь графический способ. [c.39]
Построение кривых у (t) может быть осуществлено не только чисто графическим путем, но и табличным способом, т. е. графо-аналити-чески, так как очевидно, что нахождение величины At по формуле (1-10) может быть осуществлено и вычислением. Тогда мы получим табл. 1-1, заполнение которой не должно встретить особых затруднений. [c.40]
Заметим, что построение кривых у (/) по статическим характеристикам с учетом влияния первой про-. изводной обладает свойством обратимости (инверсии), т. е. возможно не только по кривым f у) — R и 7 == Ф (О построить кривую у (I) (что является, заметим, прямой задачей), но и, задаваясь кривой у t) и зная зависимость R t), найти по точкам ту статическую характеристику f (у ), которая обеспечивает заданные значения у (t) на выходе при заданном характере возмущений R (t). Это является уже решением обратной задачи и называется синтезом звена. [c.40]
Вдумываясь в существо способа интегрирования уравнения первого порядка методом конечных разностей, мы могли бы заметить, что и при графическом и при табличном использовании его мы можем задаваться приращениями функции у, только если возмущающий фактор / изменяется во времени / так, что на некотором промежутке времени мы можем принять его постоянным (см. рис. 1-36). Тогда определенное нами для принятого приращения Ду значение величины дг (либо графически — построением, либо таблично — вычислением) не будет зависеть от изменений / , по крайней мере для некоторых известных нам промежутков аргумента г. Ново многих случаях изменение величины Р будет задано такой кривой, где участков Я = сопз не будет. Выходом из этого положения является еще Эйлером предложенный прием ступенчатого разбиения кривой Я (/) на равные или неравные интервалы Д / и вычисление уже для них y. [c.41]
Но при этом мы уже не можем находить значение / (у) по средней для каждого интервала Д(/ величине ут по той простой причине, что значение Дг/ нам как раз и неизвестно. Следовательно, остается здесь только одно — находить величину функции f(Уo) т. е. для начальных условий каждого участка Д/, что Эйлер и делал. Операции тогда осуществляются так же просто, как и в рассмотренном выше нами случае, но, очевидно, что мы будем иметь всегда заведомо искаженные результаты, и найденная нами кривая г/о (/) в этом случае всегда будет отличаться от искомой истинной. [c.41]
Предвидя это обстоятельство, можно помочь делу, рассматривая найденную таким образом кривую г/ (1), построенную по начальным для каждого интервала Ку условиям не как результат, а как вспомогательный материал для следующего, более обоснованного построения, где мы могли бы для каждого такого интервала находить средние значения функции / (Ущ), которые, конечно, были бы ближе к истине, чем прежние I ( /о). Такими последовательными приближениями мы могли бы добиться необходимой с ходи-мости конечного решения. [c.41]
Рунге—Кутта ввиду его общности, простоты и возможности использования как графически, таблично, так и на современных ЭЦВМ. [c.41]
Мы будем считать задачу решенной, получив (исходя из заданных начальных условий, что при I = у = Уо) новые данные при = (о+ М г/1 = г/о + Дг/. [c.41]
Вычисленное значение Ау позволяет найти i/i = /о+ Ау, которое мы имеем право принять за новое, начальное, и осуществить изложенные выше операции и для следующего шага. [c.41]
Построение не требует, вообще говоря, равенства интервалов аргумента Дг = onst, и это иногда для повышения точности решения желательно. Принимая же At == onst, мы и графически и таблично можем получить некоторое упрощение. Однако самое существенное свойство этого способа состоит в том, что его без каких-либо затруднений и пояснений можно применить и для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, если они приведены к такому виду. [c.41]
Для простоты и краткости письма ограничимся всего двумя неизвестными у и х и, следовательно, такими начальными условиями при г = to у = Уо X = Хд. [c.41]
Пользуясь этими найденными данными, осуществляем следующий шаг решения, ничем, (ПО сути дела, не отличающийся от вышеизложенного. [c.42]
Очевидно, что прием этот может быть распространен и на более высокий порядок системы, т. е. большее число неизвестных и уравнений. [c.42]
В заключение заметим, что при передаче решения задачи исследования сложных систем на цифровые вычислительные устройства используют эти или подобные им приемы даже и для интегрирования уравнений очень высокого порядка, преобразуя их в систему большего числа уравнений, но первого порядка. [c.42]


Вернуться к основной статье

© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте