ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ошибки способа конечных разностей. Уточнение решения внутри рабочего шага. Прием Рунге—Кутта. Применение метода к более общему случаю— решению системы нескольких уравнений первого порядка из "Инженерные методы расчета и исследования динамических систем " До сих пор мы рассматривали только статические свойства систем. На самом деле, как мы уже отмечали выше, свойства отдельных элементов системы описываются дифференциальными уравнениями. [c.38] Покажем, что свойства системы, характеризуемые дифференциальным уравнением первого порядка, могут охватывать довольно широкую область физических явлений, встречающихся в практике исследования динамических систем. [c.38] Согласно теореме Кенига, эта элементарная работа должна равняться элементарному же приращению кинетической энергии Е, т. е. Е = = Л. [c.38] Но так как скорость у является первой производной пути по времени т. е. [c.39] Эти соображения придают известную общность нашим дальнейшим рассуждениям и выводам. [c.39] по причине большей наглядности и быстроты операций, рассмотрим здесь графический способ. [c.39] Построение кривых у (t) может быть осуществлено не только чисто графическим путем, но и табличным способом, т. е. графо-аналити-чески, так как очевидно, что нахождение величины At по формуле (1-10) может быть осуществлено и вычислением. Тогда мы получим табл. 1-1, заполнение которой не должно встретить особых затруднений. [c.40] Заметим, что построение кривых у (/) по статическим характеристикам с учетом влияния первой про-. изводной обладает свойством обратимости (инверсии), т. е. возможно не только по кривым f у) — R и 7 == Ф (О построить кривую у (I) (что является, заметим, прямой задачей), но и, задаваясь кривой у t) и зная зависимость R t), найти по точкам ту статическую характеристику f (у ), которая обеспечивает заданные значения у (t) на выходе при заданном характере возмущений R (t). Это является уже решением обратной задачи и называется синтезом звена. [c.40] Вдумываясь в существо способа интегрирования уравнения первого порядка методом конечных разностей, мы могли бы заметить, что и при графическом и при табличном использовании его мы можем задаваться приращениями функции у, только если возмущающий фактор / изменяется во времени / так, что на некотором промежутке времени мы можем принять его постоянным (см. рис. 1-36). Тогда определенное нами для принятого приращения Ду значение величины дг (либо графически — построением, либо таблично — вычислением) не будет зависеть от изменений / , по крайней мере для некоторых известных нам промежутков аргумента г. Ново многих случаях изменение величины Р будет задано такой кривой, где участков Я = сопз не будет. Выходом из этого положения является еще Эйлером предложенный прием ступенчатого разбиения кривой Я (/) на равные или неравные интервалы Д / и вычисление уже для них y. [c.41] Но при этом мы уже не можем находить значение / (у) по средней для каждого интервала Д(/ величине ут по той простой причине, что значение Дг/ нам как раз и неизвестно. Следовательно, остается здесь только одно — находить величину функции f(Уo) т. е. для начальных условий каждого участка Д/, что Эйлер и делал. Операции тогда осуществляются так же просто, как и в рассмотренном выше нами случае, но, очевидно, что мы будем иметь всегда заведомо искаженные результаты, и найденная нами кривая г/о (/) в этом случае всегда будет отличаться от искомой истинной. [c.41] Предвидя это обстоятельство, можно помочь делу, рассматривая найденную таким образом кривую г/ (1), построенную по начальным для каждого интервала Ку условиям не как результат, а как вспомогательный материал для следующего, более обоснованного построения, где мы могли бы для каждого такого интервала находить средние значения функции / (Ущ), которые, конечно, были бы ближе к истине, чем прежние I ( /о). Такими последовательными приближениями мы могли бы добиться необходимой с ходи-мости конечного решения. [c.41] Рунге—Кутта ввиду его общности, простоты и возможности использования как графически, таблично, так и на современных ЭЦВМ. [c.41] Мы будем считать задачу решенной, получив (исходя из заданных начальных условий, что при I = у = Уо) новые данные при = (о+ М г/1 = г/о + Дг/. [c.41] Вычисленное значение Ау позволяет найти i/i = /о+ Ау, которое мы имеем право принять за новое, начальное, и осуществить изложенные выше операции и для следующего шага. [c.41] Построение не требует, вообще говоря, равенства интервалов аргумента Дг = onst, и это иногда для повышения точности решения желательно. Принимая же At == onst, мы и графически и таблично можем получить некоторое упрощение. Однако самое существенное свойство этого способа состоит в том, что его без каких-либо затруднений и пояснений можно применить и для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, если они приведены к такому виду. [c.41] Для простоты и краткости письма ограничимся всего двумя неизвестными у и х и, следовательно, такими начальными условиями при г = to у = Уо X = Хд. [c.41] Пользуясь этими найденными данными, осуществляем следующий шаг решения, ничем, (ПО сути дела, не отличающийся от вышеизложенного. [c.42] Очевидно, что прием этот может быть распространен и на более высокий порядок системы, т. е. большее число неизвестных и уравнений. [c.42] В заключение заметим, что при передаче решения задачи исследования сложных систем на цифровые вычислительные устройства используют эти или подобные им приемы даже и для интегрирования уравнений очень высокого порядка, преобразуя их в систему большего числа уравнений, но первого порядка. [c.42] Вернуться к основной статье